자연수와 실수의 심연이란 무엇일까? 

(266p) 앞서 무한을 셈하려는 칸토어의 연구는 자연수와 정수, 유리수가 모두 동일한 농도를 갖는다는 것을 보여주었다. 반면 '연속체'인 실수는 그와 다른 농도를 갖는다는 것을 보았다. 실수가 정수나 유리수와 전혀 다른 농도를 갖는다는 것을 보았다. 실수가 정수나 유리수와 전혀 다른 농도를 갖는다는 것은 바로 무리수가 유리수와는 비교할 수 없을 만큼 많다는 것을 뜻한다. 그리고 그것이 실수의 연속성을 가능하게 한다는 것을 의미한다. 다시 말해 연속적이지 않은 수와 연속적인 수의 경계, 그 심연은 바로 유리수와 무리수 사이에 있었던 것이다. 그것은 가산집합의 무한과 연속체의 무한 사이에 있는 심연이기도 했다. ... 즉, 실수론의 깊은 강을 건너는 데 실패한다면, 실수론을 통해 확고한 기반을 확보했던 모든 수학 이론도 함께 익사할 위험에 처한 셈이다. ... 칸토어는 무한의 깊이를 가진 심연 속으로 뛰어들어 무한 자체를 들여다보고, 그것을 계산하고 정렬함으로써 심연을 돌파하고자 한다. 

칸토어는 초한순서수의 역설, 순서수의 역설 등을 발견하지만 발표하지 않고 해결책을 모색한다. 자신의 집합론을 지지하는 사람들로부터 외면당하지 않기 위해 감추고 싶어했던 것일지도 모른다고 저자는 말한다. 이후로 여러 가지 집합론 관련 역설이 등장하고, 급기야 '수학의 기초론'이 탄생한다. 

여기서 집합론의 역설이란 자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합을 U라고 하면, 이 U 자신은 U에 포함되는가, 아닌가? 포함된다고 말하면 U는 자기 자신을 원소로 하는 집합이 되어 가정과 달라진다. 또 포함되지 않는다고 하면 U는 자기 자신을 원소로 하지 않는 집합이 되니 U에 포함되어야 한다. 어떻게 해도 모순이 된다. (271p) ex) 이발사의 역설. 반장들이 따로 모여 공부하는 학교가 있다고 가정하자. 반장들은 자신의 학급이 아니라 따로 만든 반장반에서 공부해야 한다. 그렇다면 반장들이 모여 공부하는 반의 반장은 어디서 공부해야 할까? 반장 반의 반장은 반장반에 포함될까? 아닐까?  만약 반장 반에 포함된다면 반장들은 자기 학급에서 공부할 수 없다는 가정이 무너지고, 만약 포함되지 않는다면는 반장반의 반장은 공부할 학급이 없다. 

그렇다면 이 역설을 해결할 방법은? (273p) 답은 모두 다 '자기 언급'으로 인해 역설이 생긴다는 것이다. 

러셀의 역설(유형이론) : 자기 언급을 피하면 역설을 피할 수 있다. ex)모든 집합의 집합. 앞의 집합과 뒤의 집합은 다른 단계(유형)에 속한다. 반장반의 반장. 앞의 반장과 뒤의 반장이 다른 유형이라는 것. 이 유형을 혼동하는데서 모든 역설이 발생한다. 러셀은 역설을 피하면서 수학의 기초를 다시 엄밀히 세우고자 했다.

그러나 이 두 말이 모두 하나의 동일한 대상을 가리킨다는 사실을 잊지 말자. 이러한 유형은 최초에만 구분되고 이후 즉시 통합되어 버린다. ex) 돈이 돈을 낳는다. 앞의 돈은 자본이고 뒤의 돈은 이자를 말한다. 그러나 은행 계정에 합산되어 버리면 하나의 동일한 돈일 뿐이다. 

이런 역설들에 맞서 수학자들은 수학의 기초를 다지기 시작한다. 형식주의(공리),논리주의, 직관주의(배중률)

논리주의 : 러셀과 화이트헤드가 <수학의 원리>라는 책을 공동집필했으나 집합론과 논리학만으로 수학의 기초를 다지겠다는 시도는 실패했다. 

직관주의 : 1+1=2는 논리가 아니라 직관이다. 직관주의자들은 칸토어의 집합론을 부정한다. 무한이란 수많은 대상이 이미 존재하고 있어서 얼마든지 새로운 것을 창조해갈 수 있는 가능성이라고 생각하기 때문에 칸토어의 (셀 수 있고 계산할 수 있는)무한을 전제하는 증명법을 받아들이지 않는다. 이외 배중률과 귀류법도 비판한다. 중간을 배제하는 규칙이 배중률이다. 가령 79는 소수이거나 합성수 둘 중 하나이지 그 어느 것도 아닌 다른 것일 수 없다. 또한 무한집합에서는 수에 대해 정확하게 말할 수 없기 때문에 귀류법(부정명제의 불합리성을 증명하는 방식, A가 아니라면...)은 사용할 수 없다. 

형식주의 : 수학이론이나 명제를 최소한의 공리를 이끌어내고 체계화하는 것을 "공리"주의라고 한다. 직관을 완전히 제거하고자 x, y, z 같은 문자나 기호로 모두 바꾼 것. 그리고 이들 문자들 사이의 형식적 관계를 체계화하는 것을 형식체계라고 한다. 이처럼 형식 체계의 무자항들에 어떤 내용을 대응시켜 바꾸는 것을 '해석'이라고 부른다.(279p)  형식적 공리주의는 논리주의 반대, 직관주의 반대. 칸토어 집합론 지지. 

그러나 1931년 괴델의 정리에 의해 형식주의적 프로그램은 파산선고를 받는다. 이제 정관사를 붙인 수학, 대문자로 쓰인 수학은 존재하지 않는다. 다만 이런 수학, 저런 수학, 수많은 수학들이 존재할 뿐이다. 수많은 수학들. 어차피 수학은 그런 게임들이었다.(288p)

"수학의 본질은 자유"라는 칸토어의 말은 이 책의 저자가 서문에서부터 계속 붙들어온 주제입니다. 이런 수학 저런 수학을 앞에둔 우리에게 이 말은 어떻게 이해되고 있을까요? 수학의 자유함에 대해 얘기나눠봅시다!! 

8장 

고대 피타고라스 시절에는 자연수 정수 유리수로 띄엄띄엄

칸토어에 와서는 무리수로 연속

양자역학에 와서는 다시 정수배

그러면 우주는 뛰엄뛰엄인가? 연속일까?

그래서 칸토어가 무엇을 했다는건가? 무한 비교 놀이

8장: 무한소라는 모호한 개념이 기존에 확립된 기초를 흔들 정도였기 때문에,  19세기 두려움과 증오의 대상이 될 수 밖에 없었습니다.  새롭게 착안한 아이디어일지라도 수학의 기반을 흔들 정도가 되면 침묵하기도 하고, 연구 결과  발표도 더욱 신중하게 되었으며 수학의 엄밀성을 집중적으로 연구하기도 했다고 해요. 
그 당시 절대적인 우주 질서, 철학 및 종교와도 이어지는 수학을 대하던 수학자들의 태도는, 진리의 기반을 지키려는 엄숙함이 함께였던 것 같습니다. 
(첫 시간 질문에서 수학이 진리인가요? 나눴던 이야기에서, 저는 수학은 절대불변의 진리를 향해 가는 일종의 도구 정도라고만 대답했는데, 이후에 아이 아빠와 이부분을 잠시 이야기했을 때, 아이 아빠는 그 도구라는 것도 목적을 향해가는 토대이기 때문에 수학=진리라고 생각한다고 하면서, 레고의 예를 들어
'레고에서는 어떤 것이 진리가 될 수 있을까?' 라고 물었습니다.  서로 연결되는 블록끼리 어긋나지 않고 잘 맞아야 한다고 대답을 했었는데요, 그 대답을 하는 순간, 수학자들의 태도가 이런 것일까라고 생각해보게 되었습니다.)

8장에서는 막연한 감만 있던, 수학적으로 정의가 모호한 것들을 진리로 만들기 위해 어떤 노력들이 더해졌는지 이야기가 이어지면서, 칸토어가 무한을 어떻게 셈하려고 했는지 펼쳐집니다. 
집합의 개념이 생겨난 배경, 무한한 것에 대한 밀도 측정, 연속성, 초한수 등 수학공식으로만 접했던 것들의 뒷 이야기를 좀더 자세히 풀어보고 싶어집니다.
보면서 참고로 찾아본, 힐베르트의 호텔 이야기 흥미로웠습니다~

칸토어 대각선 논법을 쉽게 이야기한 내용도 추가해요~
제논의 역설 : 100m -> T초에 달린다면, 남은 거리의 절반을 가려면 얼마나 걸리나 계산하다보면,

T/2 + T/4 + T/8 + …=> 양수를 무한번 더하게 되므로 그 값이 유한해질 수 없어서 100m를 달릴 수 없다.
(물리적으로는 완주 가능하나, 논리적으로 쪼개는 작업으로는 불가능하다고 주장)
코시 : 무한이라는 값이 어떻게 수렴해질 수 있는가로 이 문제를 해결 (T로 수렴)

칸토어 : 막연하게 무한을 정의하기 전에, 무한의 기준을 정의하고자 함.


모든 양의 정수 집합의 원소가 모든 정수 집합의 원소와 일대일 대응이 된다면 셀 수 있는 무한이다.

모든 실수들의 집합(셀 수 없는 무한) > 모든 양의 정수들의 집합을 설명하기 위해 ‘대각선 논법’ 

=> 아무리 일대일 대응으로 열거해도 이 대응된 열거에 포함되지 않은 실수가 무한히 나올 수 있다
.

저는 이번 248페이지가 가장 인상적이었습니다. 왜냐하면 기하학의 산술화라는 말을 이렇게 간단한 선과 점으로 표현할 수 있는 것이 재미있었습니다. 실수는 무한집합이야. 어떻게 증명하지? 선을 그려봐.... 그러면 그림(b)와 그림8.2는 선분 상의 점과 직선 상의 점은 일대일 대응 하거든. 그럼 모든 선분 상의 점들의 농도는 같다는 것을 증명한 셈이지. (249p)그렇다면 모든 선분의 길이와 모든 직선의 길이가 같아지지 않는다는 말은 무슨 의미일까요? 선분은 시작과 끝에 점이 있는 것을 말하는데, 여기서는 직선도 동일한 만큼 점을 갖지만 그렇다고 점이 길이를 갖지 않기 때문에 길이가 같지는 않다고 합니다. 이게 무슨 말일까요? 점을 포함한 선분의 길이를 알 수 없다는 말일까요???  그렇다면 선분 1cm와 선분 2cm 둘 중 어느 선분에 점을 더 많이 찍을 수 있을까요? 2cm는 1cm 선분보다 더 많이 2배 정도는 선분을 찍을 수 있을까요?

(252p)우주 공간의 모든 점들을 바구니에 담는 법??

직선 상의 점과 평면 상의 점이 농도가 같다는 것을 증명하면 우주공간의 모든 점들이 짧은 선분 상의 점과 농도가 같다는 말이 되는 것. 평면상의 점이 직선상의 점과 다른 점은 순서쌍(x, y)로 표시하고, 무한소수를 만들어야 한다. 3차원 4차원 공간도 선분상의 점과 농도가 같다는 걸 증명할 수 있음. 이런 식으로 조그만 선분상에다 세상의 모든 점을 담을 수 있다고 함. 

그렇다면 이런 경우는 실수일 때 우주의 모든 점을 담을 수 있지 않을까요? 실수는 연속적인 수이고, 우주를 가장 잘 표현한 수라고 할 수 있겠네요. 그렇다면 불연속적인 정수로 표현되는 원자의 세계는 어떻게 이해할 수 있을까요? 정수는 실수에 포함집합이니까, 실수가 더 큰 집합 더 큰 수라는 차원에서... 우주를 정수로 표현하면 표현하지 못하는 부분이 많아지는 것 아닐까 싶습니다. 

<수학의 모험> 10장: 불완전성의 정리

내제하는 외부- 우리가 착시현상을 일으키는 그림을 볼 때 무의식적으로 '외부'의 광원을 '내부'로 들고와 보는 것 처럼, 수학에서의 공리계가 수학의 학문적 기본 단위인 공리들로 증명 불가능한 명제들을 '포함'한(품고있)다는 말은 외부에서의 무언가를 자신의 공리계 '내부'로 끌어들이고 있는 것이 아닐까.

완전성에 금이 가다- 수학의 문자/기호적 형식화를 위해, 명제들 사이에는 모순이 있어서는 안된다(무모순성). 이는 사실상 모든 학문이 전제하는 것이다. 또한 기본바탕을 이루는 공리들이 참/거짓을 완전히 결정할 수 있어야 한다(완전성). 즉, 자신의 체계 안에서 완벽히 작동할 수 있어야 한다. 따라서 참인지 거짓인지 판별 불가능한 명제를 보인다면 이는 위 요소들 중 완전성을 깨버리는 반례가 된다.  그리고 이를 위해 '이 명제는 증명할 수 없다'라는 명제를 생각해보자. 이는 마치 증명하는 순간 그 반대의 성질인 증명 불가능성을 입증하는, 역설적인 문구이다. 그렇다면 이를 명제 p의 참/거짓은 증명할 수 없다'라고 바꿔보자. 

말장난에서 숫자놀음으로- 그렇다면 이제 이 명제p를 수로 환원시켜보자. 우리는 사실 이미 문장(의미를 가진 어떤 단어들)을 기호로 환원시키는 작업을 하고 있다. 이를테면 'a와 b는 같다'라는 문장을 a=b로 바꾸는 식이다. 그리고 이렇게 문장에서 문자와 기호들로 환원된 것들을 다시 숫자에 대응시키면 문장의 숫자화가 이루어진다. 그러나 이렇게 '변역'된 문장들을 구분할 방법이 필요하다. 이를 위해 소인수분해의 일의성을 이용한다. 즉, 어떤 수의 소인수분해법은 하나뿐이다. 그렇다면 각 기호에 대응시킨 수들을 소수의 지수로 올려보자. 그렇게 하여 그 수들끼리 곱하면 인수분해시 각 지수에서 번역시킨 수들을 뽑아낼 수 있는 일종의 '압축' 과정을 실행할 수 있다. 이 압축된 메세지를 담고 있는 수를 괴델수라 부른다.

이렇게 해도 저렇게 해도- 이제 아까 봤던 명제p를 '괴델 수 x를 갖는 명제는 증명할 수 없다'로 바꿔보자. 그렇다면 이 문장도 어떤 괴델 수로 수학적 '압축'을 할 수 있을 것이다. 그렇다면 아까 명제에서의 x가 g일 때, 마치 함수처럼 그 문장의 괴델 수를 g으로 만드는 어떤 수가 있을 것이다.  그렇다면 x=g일 때 위의 명제가 g이 되도록 하여 x의 자리에 g을 넣어 보면 이 문장에는 g가 대응하게 된다. 이 문장을 G라는 문자로 바꾸어 '명제 G는 증명할 수 없다'로 만들어보자. 그렇다면 G를 증명할 수 있다는 말은 '괴델 수 g를 가지는 명제를 증명할 수 없다'가, 반대로 G의 부정을 증명해도 그 반대인 '명제 G는 증명할 수 있다'를 증명하는 셈이 되니, 한마디로 '덫'에 갖힌 형국이다.

질문:

314p- G가 '명제 G는 증명할 수 없다'로 어떻게 바뀌게 되는 건지... 잘 모르겠다.