여름방학 단기세미나로 읽는 <유클리드원론>, 다시 신자진(申子辰)이 뭉쳤습니다. 

갈릴레이의 <TNS>를 어찌어찌 끝내고 <유클리드원론>을 읽기전 2주간의 방학 동안 진공묘유님은 명상센터로 떠나며, 다른 분들이 우리의 공부에 합류하길 기도하겠다고 했으나... 기도발보다 무서운 <유클리드원론>이라는 것만 입증된 셈입니다!! 저는 최근 몇 년간 여름엔 과학이나 수학책처럼 평소 읽지 않을 것 같은 책들을 읽으며 여름을 나보자고 단기세미나를 열었었는데요. 올 여름을 끝으로 이제 더이상 여름방학 세미나는 열지 말자고 다짐했습니다. 가만히 누워만 있어도 숨이 턱턱 막히는데, 무슨 책인가 싶어서 말이지요. 게다가 이번 책은 새로운 신청자는 늘지 않았지만 주변에서들 핫했던 모양입니다. 곰곰님이나 진공묘유님은 도대체 왜 "유클리드기하학"을 읽느냐질문공세를 받았다고 합니다.  우리는 한동안 왜 기하학을 공부해야 하는지에 대해 얘기를 나눴습니다. 

정의1. 점이란 부분이 없는 것이다.

2023년 뜨거운 여름, 제가 기하학과 씨름하리라 생각이나 했겠습니까! 간만에 기하학이라는 말을 되새긴 것은 작년 여름 문탁에서 열린 김상욱 교수의 강좌에서였습니다. 그는 양자역학을 얘기하기 위해 기하학의 첫번째 정의 "점은 부분이 아니다"로부터 시작합니다. 여기서 부분이 아니라는 의미는 더이상 쪼갤 수 없다는 것이며, 이는 오늘날의 원자 개념으로 이어진다는 설명이었습니다. 기원전 300년 전 고대그리스의 수학이 지금에도 여전히 작동하고 있다는 것이 놀라웠습니다. 그리고 점은 부분이 될 수 없기 때문에 점이 모여 선이 될 수도 없습니다. 적어도 유클리드 기하학에서는 말이지요. 나중에 데카르트의 좌표계에서 점은 위치를 갖는 값으로 다시 태어납니다. 

재미있는 것은 중국에서도 비슷한 시기, 전국시대 묵자들의 과학책이라 불릴 만한 <묵경> 두 번째 정의에서 부분과 전체에 대한 정의를 찾아볼 수 있다는 것입니다. 이 책이 청대에 정리된 것임을 감안하면 <원론>을 비롯한 서양의 수학과 과학기술이 영향을 주었다고 볼 수 있습니다. 이로 인해 <묵경>의 순서나 체계가 다분히 의도적일 수 있음에도 불구하고, 2천년 간 가치가 폄훼되거나 축소되었던 중국 과학기술의 성과를 재조명하는 계기가 되었던 셈입니다.

기하학에 대한 관심에 더 불을 지른 것은 작년 여름 단기세미나에서 읽은 <미적분의 힘>이라는 책 때문입니다. 정말정말 미적분이 뭔지도 모르는 제가 미국에서 히트한 수학 대중서니까 좀 쉽지 않을까 싶어 골랐습니다. 그런데 여기서도 온통 "기하학" 얘기뿐이었습니다. 미적분학은 기하학으로부터 파생되었다고 볼 수 있습니다. 

 정의2. 선은 너비가 없는 길이이다. 

<원론>에서 선은 직선이거나 곡선입니다. 이 선들에 너비가 없다는 것은 폭이 없다는 것이고, 다만 길이만 있다는 것입니다. 여기에서는 정삼각형, 직사각형, 마름모, 마름모꼴, 사다리꼴 등 다양한 직선뿐 아니라 원과 반원에 대한 정의도 모두 선을 이용합니다. 그러나 유클리드 기하학 원론에서는 원의 넓이를 구하지 못하고, 이후 기원전 250년 경 아르키메데스가 "극한"이라는 무한 원리를 이용해서 원의 원주 길이를 계산하고 파이 값을 구했습니다. 여기서 무한 원리란 원이나 구와 같은 곡선 형태를 무수히 많은 직선과 평면으로 깎아서 근사한 모양으로 만드는 것을 말합니다. 그러니까 어떤 곡선도 무한히 쪼개면 직선과 평면으로 계산할 수 있게 됩니다. 이때 무한히 작게 만드는 과정이 필요하고, 이것을 통해 무한히 많은 조각의 극한값을 구할 수 있습니다. 그리고 이렇게 조각낸 값들을 합치면 원이나 곡선의 면적을 구할 수 있게 됩니다. (미분=>적분)  

그런데 저는 <원론> 정의1과 2를 읽는 순간 아르키메데스에게 무한이라는 영감을 준 것은 결국 기하학이 아니었을까 생각하게 되었습니다. 점은 부분이 아니기에 선으로 이을 수는 없지만, 대신 무수히 많은 점들이 선에 놓일 수 있습니다. 특히 정의 2에서 선에 너비가 없다는 것은 점과 마찬가지로 우리 눈에는 보이지만 없는 셈이고 또 없지만 있는 셈입니다. 이렇듯 너비가 없는 선들이기에 아르키메데스는 어떤 곡선이든 무수히 나눌 수 있게 된 것 아닐까요. 

3. 우리에게 과학공부가 필요한 이유는 무엇일까요?

최첨단 과학의 시대. 똑똑한 과학자도 많은데 굳이 문외한인 나까지 과학 언저리를 헤매고 있느냐고 스스로에게 묻습니다. 다행이 얼마전 유시민 작가가 <문과남자의 과학공부>라는 책 한 권 분량으로 저와 같은 물음에 응답하고 있는 것이 아닐까... 추정해봅니다.(안 읽어봤지만요 ㅎㅎ) 우리에게 과학공부가 필요한 이유는 과학적 사고가 아니라 비판적 사고가 필요한 시대이기 때문일 것입니다. 이번에 문탁에서 AI강좌를 들으면서도 CHATGPT와 같은 과학기술에 대해 막연한 두려움도 지나친 낙관도 아닌 방식에 대해 다함께 고민해보는 시간을 가졌는데요. 부디 우리의 공부도 언젠간 친구들과 함께 나눌 수 있기를...    

다음 시간에는 토마스 히드의 <기하학원론>해설서를 같이 읽기로 했습니다. <기하학원론>은 유클리드? 에우클레이데스?(둘다 같은 이름이라고 한다) 혼자 지은 책이 아니라 당대 수학적 성과를 집대성한 책이라고합니다. 따라서 아리스토텔레스, 플라톤 등 당대 철학자, 역사학자, 수학자들의 견해가 어떻게 다르고 유클리드가 어떤 방식으로 수렴하고 있는지 등을 자세히 비교하면서 읽으려고 합니다. 

• 읽어올 분량 : 해설서 79까지 읽어옵니다. 명제(법칙)로 가기 전에 정의와 공리 등 앞부분을 꼼꼼하게 읽기 위해 나눠 읽습니다.