2장에서 우리는 원뿔 모양을 어떻게 잘라내느냐에 따라 원도 되고 타원도 되고 쌍곡선과 포물선까지 만들어지는 것을 보았다. 

그래서 3장과 4장은 자연스럽게 원과 타원의 정의와 작도를 소개하고 있다. 그러나 아뿔사.. 프린키피아 해설서를 선택한 것은 좀 쉽게 가자는 의미였는데, 방정식이 우리의 발목을 잡았다. 소위 해석기하학이다. (뉴턴은 그 당시 사람들에게 익숙한 기하학적 증명방식으로 물체와 천체의 운동을 설명했는데, 이는 자신의 방정식을 이해할 수 없을 것이라고 생각했기 때문이라고 했다. 그런데 친.절.하.게.도. 해설서의 저자가 우리를 방정식의 세계로 몰아넣었다. ㅠㅠ )

1. 원의 방정식을 살펴보자. 

원의 방정식이란 무엇인가? 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 구하는 공식이다. 

위와 같은 공식이 어떻게 나왔는지 좀더 살펴보자. 

좌표 평면 위에서 점A와 점B 의 길이는 직각삼각형을 만들어서 피타고라스의 정리를 이용해서 구해보자. 위 루트가 씌워진 공식에서 루트를 벗기기 위해 양변을 제곱하면 어디서 많이 본 피타고라스 정리를 만날 수 있다.  x2+y2=d2(빗변) 

그러면 이제 원의 중심O에서 반지름 거리만큼 떨어져 있는 점P를 지나는 접선의 방정식을 구해보자. 일반적으로 기울기m의 값을 알 때 일반적인 직선의 방정식은 y=mx+n이다. 여기서는 접선의 기울기가 m=y1/x1이다.  위 표에서 처럼 기울어진 경우 x축은 증가하고 y축은 아래로 떨어지기 때문에 마이너스값이 나온다. 따라서 m=-y1/x1이고, 점P(x1, y1)을 지나는 직선의 방정식은 y=-x1/y1(x-x1)+y1

이때 위 그림처럼 점P(x1, y1)이 원에 접하는 경우, x1x+y1y=d2

여기에 저자는 미분해서 접선의 기울기를 구하는 방법 또한 제시한다. 위에서 구한 원의 방정식 x2+y2=d2을 미분해보자. 이때 우리가 구하고자 하는 값은 x를 기준으로 y의 변화량, 즉 dy/dx라는 것을 잊지 말자.  이것이 기울기 값이기 때문이다. 

x2+y2=d2를 미분하면 거리는 무한이 0에 가깝고, 제곱은 차수2로 내려오고 2x+2y dy/dx=0 dy/dx=-2x/2y=-x/y

2. 원주각은 왜 중심각의 1/2일까?

3가지의 경우로 나누어 증명해볼 수 있다.

첫번째, 원의 중심이 원주각 안에 있을 때

     

 

 

중점과 원주각 꼭지점을 이어서 지름을 만든다. 이 지름은 평각 180도이다. 여기서 첫 번째 증명  z=2x를 같이 이용하면 2x-(180-z)=180 항을 정리하면 z=2x이다. 

 

 

마지막으로 중심이 원주각 바깥에 있는 경우, 

 

 

 

원의 성질 중 같은 호를 공유하는 경우 각이 같다는 것을 알 수 있다. 여기서도 중심을 지나 원주각까지 지름을 만들면 같은 호를 공유하는 성질을 이용해서 증명할 수 있다. 

원은 천체의 운동이 타원이라는 것이 밝혀지기 전까지 완점함을 표상하는 이상적인 도형이었다. 지금은 안다. 아무리 정교한 콤파스를 이용하더라도 완전 무결한 원을 만들 수는 없다고... 콤파스를 이용해서만 원을 그릴 줄 알았던 우리에게는 굳이 왜?인가 싶은 원의 중심 작도하기 등이 소개되어있다. 어느 원에서 각각 2개의 수직이등분선을 작도하면 그 두 선이 만나는 점이 원의 중심이다. 저자는 조선시대 태조 때 돌에  새긴 천문도 <천상열차분야지도>를 소개하고 있다. 한나라의 별자리 천체도가 조선시대에 사용되었다는 것이다. 

원과 타원에 적용되는 방멱정리, 원멱정리에 대해서도 짚어보자. 이들은 같은 의미이고, 두 직선이 하나의 원에서 만날 때 성립하는 관계식이다. 즉, 닮은비를 말한다. 

3. 타원에 관하여 

기하학원론을 읽을 땐 주로 작도하면서 숨겨진 비례관계를 하나씩 발견하는 재미가 있다. 그러나 해설책 프린키피아는 방정식이 너무 많이 나온다. 그럼에도 불구하고 타원의 쓸모와 천체의 운동이 모두 기하학으로 해석되는 것에 잠깐이라도 경이로움에 빠지게 된다. 이들 질서의 정교함에 빠질 수밖에 없다. 쓸모로 말하자면 신장결석이나 요로결석에 사용된다는 충격파이야기다. 타원은 왜인지 모르지만 빛의 성질(경제성)을 갖고 있다. 따라서 타원의 한 초점에서 들어온 빛(입사각)은 그 면과 직각을 이루는 접선을 만나면 반대편 다른 초점으로 반사된다. 이때 이 둘의 각의 크기는 같다. 쇄석술은 타원의 이러한 반사법칙을 이용해서 결석에 초점을 맞추는 시술인 것이다.  

F와 F'는 타원의 초점이다. 이 초점에 실을 끼우고 점P의 자리에서부터 연필로 그리면 타원을 그릴 수 있다. 고정된 두 초점과 같은 길이의 실을 사용하기 때문에 이들의 거리는 어디서 이들의 거리 총합은 어디서든 같다. 입사각과 반사각이 같다는 것을 증명해보자.

1)QF'+QF>PF'+PF(빛의 성질에 따라 가장 짧은 직선으로 움직인다)

PF=PR

PR=PF

각F'PS=각QPR(맞꼭지각)

삼각형QPR=삼각형 QPR

∴ QR=OF

QF'+QF=QF'+QR＞ PF'+PR=PF'+PF
∴QF'+QF＞PF'+PF

(2) 직선 l은 타원의 접선이다. QF'+QF＞PF'+PF 이므로 점 Q는 타원 위의 점이 아니다. 즉, 직선 l과 타원의 교점은 점 P하나뿐이다. 따라서 직선 l은 점 P에서의 타원의 접선이다.

(3) ∠F'PS=∠FPQ이다. 그림과 같이 직선 PQ위에 점 S를 잡으면 직선 ι이 ∠FPR의 이등분선이라는 가정과 맞꼭지각의 성질에 의하여 ∠F'PS=∠FPQ 이다. 즉, 타원의 한 초점에서 출발한 빛은 타원 위의 한 점에서 반사한 후 빛의 입사각과 반사각의 성질에 의하여 다른 초점을 향해 진행한다.

방정식에 멍해진 정신이 아무쪼록 타원이 쓸모있다고 하니 좀 숨통이 틔었다. 그리고 다른 하나는 원과 타원의 작도뿐만 아니라 평행사변형의 성질 또한 천체의 궤도 운동에 사용되는 것을 보고 역시 놀라웠다. 이들은 하릴없이 기하학을 연구한 것이 아니었다. 당시도 지금도 우주의 수수께끼를 풀어내기 위해 이들은 기하학을 이용한 것이다. 어느 정도 익숙해지고 나니 원이나 타원이 두 개 이상 보이면 천체의 자전과 공전 운동으로 인해 조금씩 자리를 바꿔가는 행성의 움직임을 해석하기 위해 고군분투하는 이들이 저절로 떠오른다. 애드먼드 핼리가 최초로 해성을 발견했을 때 그는 하늘의 노여움 때문에 혜성이 나타나는 것이 아니라 자연의 법칙(운동)이라는 것을 규명하기 위해 기꺼이 무릎을 꿇고 간절하게 뉴턴에게 <프린키피아>를 써달라고 했던 것 같다. 

다음 시간은 설왕설래가 많았는데, 타원과 쌍곡선을 읽고 만납니다~ 죄송합니다~~ 후기가 많이 늦어졌습니다. 벌써 내일이 세미나 시간입니다.  타원의 원멱정리 143p부터 하겠습니다.  딸래미 기하책을 받았는데, 펼쳐보니 우리가 읽는데 도움이 될 것 같습니다. 내일 가져갈게요~