<TNS> 마지막 시간이었다. 분명 '넷째 날' 두 번째 시간이었는데 지난 시간과 그닥 달라지지 않은 우리...  우리는 여전히 넷째 날 앞부분을 꼼꼼히 보는 것에서 더 많이 나가진 못했다. 그럼에도 (솔직히) 아쉬움보다는 시원한 마음이 더 크다. ㅋ  우리 다시 한번 복습해 봅시다!

자유낙하운동 대 포물선운동

먼저, 셋째 날의 자유낙하운동과 넷째 날의 포물선운동은 어떻게 다를까. 예를 들면 높은 자리에서 공을 놓은 것과 공을 공중으로 던진 것으로 볼 수 있다. 두 가지 모두 바닥에 도달하는 시간은 동일하다. 즉 떨어지는 속력은 같다. 다만 공을 던지면(포물선운동) 옆으로 가면서 떨어진다는 것이 다르다. 정리해보면, 자유낙하운동은 어떠한 물체가 중력만 받아 시간에 따라 속도가 일정하게 증가(가속도)하는 운동이다. 반면 포물선운동은 수평/수직운동 방향의, 두 종류의 운동을 결합한 형태로 움직이는 운동을 연구한다. 수평 방향으로는 등속 직선 운동을 하는데, 이것은 물체에 수평 방향의 힘이 작용하지 않기 때문이다. 수직 방향으로는 중력이 작용하여 등가속도 운동을 하게 되면서 결국 그 물체의 운동경로는 포물선을 그리게 된다. 

포물선운동의 근원은 다음과 같다. 

마찰이 전혀 없는 매끄러운 수평면에 어떤 물체를 던졌다고 하자. 이 물체는 이 평면 따라 일정한 속력으로 영원히 계속 움직인다.(관성) 이 평면이 끝이 없다면 말이다. 하지만 평면이 유한하고 허공으로 높이 떠 있다면 이 물체는 평면의 테두리 벗어나 허공으로 갈 것이고, 이 물체가 무겁다면, 이 물체는 기존의 영원히 일정한 속력으로 움직이려는 경향에다, 자신의 무게 때문에 아래로 내려가려는 경향이 생긴다. 이 둘의 결합으로 생기는 움직임이 물체를 허공에 던졌을 때 생기는 움직임이다. 이것은 수평으로 일정하게 움직이는 것에다 수직으로 자연히 가속되어 움직이는 것을 더한 것이다. 

이러한 움직임의 성질들을 설명하고 증명해 나간다. 

정리1. 공중에 던진 물체가 수평으로 일정하게 움직이려는 속력과 수직으로 자연히 빨라지는 속력을 결합한 것으로 움직이면, 이것은 반포물선을 그린다. 

사그레도와 심플리치오는 기하학을 그다지 깊게 공부하지 않았다고 고백하며 살비아티(갈릴레이)에게 포물선에 대해 자세히 좀 알려달라고 조른다. 심플리치오는 “나는 기본적인 것조차 아는 게 없네”라고 말하는데… 나의 마음과 완전히 동일하다. 

포물선의 중요한 성질 두가지를 증명해준다. 첫번째 성질은 포물선을 만드는 방법으로부터 순수하고 간단하게 이끌어내고 두번째 성질은 첫번째 성질로부터 이끌어낸다. 첫번째 성질을 보이기 위해서, 어떤 직원뿔이 있어서, 원 IBKC가 밑바닥이고 L이 꼭지점이라 하자. 옆줄 IK와 평행한 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선이 바로 포물선이다. 이 포물선의 밑변 BC는 원 IBKC의 지름 IK와 직각으로 교차한다. 포물선 AD는 옆줄 IK와 평행하다. 이제 포물선 위 어떤 점 F를 잡아서, 선분 FE를 BD와 평행하게 그어라. 그러면 다음 성질이 성립한다. 

보조정리-성질1. BD의 제곱과 FE의 제곱의 비율은 AD와 AE의 비율과 같다. 

점 E 지나고 IBKC와 평행한 평면 그려라. 그러면 이 평면이 원뿔 잘라 원을 만든다. GEH가 원의 지름. 원 IBK에서 선분 BD와 IK가 직각으로 만나니까 BD제곱은 ID와 DK를 변으로 만든 직사각형의 넓이와 같다. 마찬가지로 위에 새로 그린 원에 대해서, 생각해보면 FE의 제곱은 GE와 EH를 변으로 만든 직사각형의 넓이와 같다. 그러니까 BD 제곱 대 FE 제곱의 비율은 ID*DK 대 GE*EH의 비율과 같다. 그런데 ED는 HK와 평행하므로 선분 EH와 DK의 길이는 같다. 그러니까 ID*DK 대 GE*EH의 비율은 ID 대 GE 비율과 같다. 이 비율은 AD 대 AE의 비율과 같다. 그러므로 BD 제곱 대 FE 제곱의 비율은, AD 대 AE의 길이 비율과 같다. 증명 끝. 

보조정리-성질2. 어떤 포물선 그리고, 그 축 AC를 위로 길게 늘여라. 포물선의 어떤 점 B에서 선분 BC를 포물선 밑변과 평행하도록 그린다. 축을 위로 늘인 곳에서 점 D를 잡되, DA와 CA의 길이를 같게 하라. 그러면 직선 BD는 포물선과 점 B에서 접하게 된다. 

만약 이게 접하지 않는다면 이 직선이 포물선의 윗부분이나 아랫부분을 뚫고 지나갈 것이다. 그렇다면 포물선 내부의 점 G를 그림처럼 잡아서, 선분 FGE를 그어라. 그러면 FE의 제곱은 GE의 제곱보다 더 크니까, FE의 제곱 대 BC의 제곱 비율보다 더 크다. 그런데 앞에서 증명한 것에 따르면 FE제곱 대 BC의 제곱의 비율은 AE 대 AC의 비율과 같다. 그러므로 AE 대 AC의 비율은, GE의 제곱 대 BC의 제곱의 비율보다 더 크다. 그런데 삼각형 DEG와 삼각형 DCB가 닮은꼴이니까, 이 비율은 ED 제곱 대 CD 제곱의 비율보다 크다. 그런데 AE 대 AC의 비율은, EA*AD의 네 배와 AD 제곱의 네 배의 비율과 같다. AD의 제곱의 네 배는 CD의 제곱과 같다. 그러므로 4EA*AD 대 CD 제곱의 비율은, ED 제곱 대 CD 제곱의 비율보다 크다. 따라서 4EA*AD가 ED 제곱보다 더 크다. 그러므로 이것은 모순이며 사실은 그 반대다. 그러므로 직선 DB는 포물선을 뚫고 지나가는 것이 아니라, 포물선에 접한다. 

그러면서 살비아티는, 진정한 수학자들이 책을 쓸 때는, 독자들이 에우클레이데스의 <기하학 원론> 정도는 완벽하게 알 거라고 생각하고 쓴다고 말한다. 거기에 보면 어떤 선문을 같은 길이로 2등분한 경우와 다른 길이로 둘로 자른 경우, 그것들로 직사각형을 만들면 길이가 다른 경우(다른 길이로 잘라 직사각형 만든 것)가 같은 경우(절반으로 잘라 정사각형 만든것)보다 넓이가 더 작고, 그 차이는 같은 길이와 다른 길이의 차이를 제곱한 것과 같다는 것을 증명해 놓았다고 한다. 원래 선분의 제곱은 절반을 제곱한 것의 네 배이니까, 이것에 따르면 다른 길이로 만든 직사각형 넓이의 네 배보다 더 큰 것이 확실하다.

갈릴레이의 증명방식은 대략 이런 식이다. 당시엔 삼각함수 밖에 쓸 수 없었기에, 그는 자신이 표현할 수 있는 도구들을 최대한 가져와서 실험을 하든 비유를 하든 한다. 그의 도구와 지금 우리가 가진 도구 사이에 괴리가 커서 그렇게 힘들었나보다. 나는 <기하학 원론>을 완벽은 커녕 전혀 모른다고 해도 과언이 아니니, 어찌보면 어려운 건 당연했다!    

수평운동과 수직운동의 분리 방법 발견, 즉 벡터 분해 발견

넷째 날의 토론은 일정한 수평운동과 일정하게 가속되는 수직운동을 결합한 것을 다루고 있다. 갈릴레이는 이들의 결합이 포물선 궤적을 따른 운동을 낳게 됨을 증명했다. 이러한 운동과의 관계를 3개의 표로 제시해 놓았는데, 이것들은 삼각함수와 밀접한 관련이 있다. 투사체의 운동은 수평 성분과 수직 성분으로 분해할 수 있으며 따라서 모든 투사체는 포물선 궤적을 그리며 움직이게 된다. 이제 갈릴레이는 대포로 발사하는 포탄의 궤적 및 사거리에 대해 완벽한 물리학적 이론을 제공할 수 있게 되었다. 일정한 속력으로 발사된 투사체는 그 각도가 45도인 경우 (수평으로) 가장 멀리 날아간다. 즉 대포의 사거리가 가장 멀게 하려면, 45도 각도로 발사해야 한다. 이 사실은 갈릴레이 이전 세대에 이미 (실제 전장에서의 경험으로서) 알려져 있었지만, 물리학적으로 그 이유를 완벽하게 설명한 것은 갈릴레오가 처음이었다고 한다. 

심플리치오가 질문하자, 살비아티는 말한다. “지금 끝낸 생각들에 대해 우리들 스스로 여념이 없었던 것만으로도 오늘은 충분합니다. 시간이 이미 늦었으므로, (중략) 그 모임을 다른 더 적절한 시간으로 미루기로 하지요” (311)

희한하게 우리의 세미나 상황과 딱 맞는 표현이 마지막에 나와 한참 웃었다. 그래도 웃으며 끝내게 해 준 갈릴레이에게 감사를… (이제 다음 생에서나 만나는 거죠? ㅋㅋㅋ)