지난 시간에 이어 타원, 그리고 쌍곡선에 대해 공부했다. 그런데 <뉴턴의 프린키피아>라는 제목과 달리, 아직까지도 만유인력에 대해서는 별로 말이 없고 기하학만 열심히 하고 있다. 언제쯤 수학의 늪에서 빠져나갈 수 있는 건지...;;;  여튼 뉴턴의 만유인력 공식 중 왜 역제곱 법칙이 성립되는지, 고전기하학을 통해 증명하려면 필요한 작업이라 한다. 이를 위해서 4장 타원에서는 아래 3가지 개념이 필요하다고 하니 다시 정리하고 넘어가보자.

1. 수직지름. 

피타고라스 정리와 타원의 성질을 이용해 유도한다. 수직지름은 L=2b² /a. 

2. 아폴로니우스의 정리 38

다음은 아폴로니우스의 정리다. 이 정리는 원으로 증명하였지만 아핀 전환을 통해 x’=ax, y’=by로 가로, 세로를 각각 a배, b배 해주면 y=mx+b 라는 직선의 방정식에 대입하여도 직선의 성질은 유지한다. 게다가 C, v, P 모두 한 직선상에 있기 때문에 고유 성질을 유지한다. 그렇기 때문에 이 성질은 타원에서도 사용가능하다. 

3. 원멱정리.

원멱정리는 아폴로니우스의 정리 38과 삼각형 ctT와 vQT의 닮은 성질을 이용해 유도한다. 

이제 세 가지 필요한 개념을 알았으니 역제곱법칙을 유도하면 된다. (그런데 과연 될까? ㅎㅎㅎ) 어쨌든 이것은 7장에서 설명되는 것 같다. 그때 다시 보기로 하고… 

5장은 쌍곡선이다. 

쌍곡선은 일정한 거리만큼 떨어진 두 점으로부터 거리의 ‘차이’가 같은 점들의 집합이다. 고등학교 때 다 배운 것이라는데 기억엔 하나도 없고, 그냥 어렵다. 그래도 쌍곡선의 방정식까지는 설명 따라 꾸역꾸역 한 번 유도해 본다. 

타원의 성질(두 점으로부터 거리가 ‘합’이 일정한 점들의 집합)과 딱 반대라서 타원을 잘 공부했다면 쌍곡선까지는 자동으로 이해가 잘 되어야 하는 게 이론상 맞는데.... 이상하게 나에게는 꼭 그렇진 않은 것 같았다...  여기에 ‘쌍곡선의 반사법칙’, ‘쌍곡선의 접선’, ‘직각쌍곡선의 특성’, ‘쌍곡선의 원멱 정리’, ‘쌍곡선의 켤레지름’, ‘쌍곡선의 중심과 접근선과 초점 찾기’가 따라온다. 그림도 많고 식도 많으니 지면상 생략합니다. ㅋ

그리고 다음 6장엔 포물선이 나온다. 원부터 포물선까지… 이렇게까지 다 알아야 하나 싶었는데, 행성과 혜성의 궤도가 이처럼 다양했기 때문이다. 행성은 거의 원에 가까운 타원 궤도로 돌고, 소행성은 타원 궤도를, 혜성은 포물선이나 쌍곡선 궤도를 그리며 나타났다. 뉴턴은 이에 대해 모두 설명해야 했으니 이 모든 것이 필요했던 것이다. 

다음 시간에는 포물선 개념과 7장 뉴턴의 만유인력의 법칙을 읽고 만나기로 했다. 후기가 늦어 죄송합니다. 뭘 어떻게 써야할지 고민만 하느라 시간을 다 보냈지 뭔가요....결국 잘 쓰지도 못할 거였는데... 흑