[미적분의 힘] 9-11장 메모

미르
2022-08-26 21:48
262

9-11장은 가벼운 이야기라 술술 읽을 수 있어서 좋았지만, 여러개를 말하려니 대충 말해주는 느낌이 들었다. 

이제 미적분에 대해 한참 물이 올랐기에 좀 더 친절하고 이해하기 쉬운 상세한 설명을 해주었더라면 좀 더 깊은 곳을 들여다볼수 있지 않았을까 하는 아쉬움이 남는다. 

 

 

댓글 9
  • 2022-08-26 21:48
    10장 파동 만들기
    10장은 파동에 대해서 이야기하고 있다.
    갑자기 파동에 대해 이야기하는 이유는 현재 우리 세계를 보는 큰 두 흐름은 입자와 파동인데
    10장 이전까지는 미적분이 입자의 운동을 설명하기위해  어떻게 도움이 되었는지 뉴턴을 통해 알려주는 과정이었고, 이제는 현실 세계를 설명하기 위한 또 다른 큰 줄기인 파동에 대해 미적분이 어떻게 적용되었는지 알려주기 위해서이다.
     
    핵심인물은 푸리에로 뉴턴이 무한급수로 어떠한 곡선이든 만들어낼 수 있음을 알아냈듯이, 푸리에는 사인파를 통해 어떠한 파동이든 만들어 낼 수 있음을 알아내 푸리에 급수를 만들었다.
     
    푸리에 급수는 우리 현실에서 파동으로 표현되는 모든것과 문제들에 적용할 수 있는 만능 열쇠가 되었는데, 사실 파동은 물질의 본질이기에 적용되지 않는 곳이 없다고 해도 과언이 아니다.
    예를 들면 악기의 진동, 보잉787 날개의 떨림, 동맥속 혈액의 흐름, 요즘 우리의 일상에서 가장 중요한 핸드폰, 소화 작용의 파동, 뇌의 전기 파동, 교통 체증 등이다.
     
    FBI 의 웨이블릿 같은 다른 종류의 파동 곡선들로도 파동을 표현할 수 있지만 사인파를 레고 기본 블록으로 선택한 이유는 수학적으로는 미적분 계산이 환상적으로 쉽기 때문이고, 물리학적으로는 제자리에서만 진동하기 때문에 멈춰있는 물질을 잘 설명할 수 있다.
     
    질문 : 사인파의 장점으로 파동의 세계에서 몹시 진귀한하나의 진동수로 진동하는 순수한 파동이고 현실은 대부분 백색광처럼 혼합 파동이다. 라고 했는데 단일 진동수가 장점인 이유는?
     
    • 진동 방식을 시각화하다 : 클라드니 패턴
    금속판위에 모래가 진동하면서 만든 곡선을 클라드니 패턴이라고 한다. 이 앞에서는 1차원의 진동에 대한 미적분의 적용을 이야기 했다면 클라드니 패턴과 이를 계산한 소피 제르맹의 이야기는 2차원의 진동에 대해 미적분이 어떻게 적용되었는지 이야기해준다.
    이어서 3차원 진동에 대해 미적분을 적용한 사례인 전자레인지에 대해  개발되기 까지의 재미있는 일화들이 이어진다.
     
    • 컴퓨터 단층 촬영과 뇌 영상
    컴퓨터 단층 촬영 CT 는 X 선이 뇌를 지나가면서 세기가 점점 약해지므로 약해지는 세기의 합을 구하는 적분과, 뇌의 모든 방향에서 X 선을 발사하는 원의 특징을 푸리에 급수로 풀어내서 3차원적 이미지를 만드는 것이다.
    라는데 구체적으로 이미지가 떠오르지 않는다.
     

  • 2022-08-27 17:07

    * 책 읽으며 조금씩 업뎃할게요*

    찬물보다 더운물이 더 빨리 냉동될 수 있다는 말을 어느 과학책인지 기사에서인지 보고서…’뭐지?’싶기도 하고 좀 황당해서 기억에 새겨두었는데, 그 이유를 모르고 있다가 이 책에 나오는 한 문장을 읽으며 비로소 그 말이 이해가 될 수 있겠다 싶더군요. 408쪽 맨 마지막 문장에서 ‘그 차이(온도 차이)가 클수록 두 점의 온도가 같아지는 속도가 더 빠르다.’라고 나오는 대목입니다. 이 문장이 찬 물보다 더운 물이 더 빨리 얼 수도 있을 이유 중 하나가 될 수 있겠다는 생각이 듭니다.

    • 2022-08-29 10:51

      음펨바 효과(Mpemba effect)는 같은 냉각 조건에서 고온의 이 저온의 보다 더 빨리 어는 현상 또는 그 효과를 말한다.[1][2] 이는 35℃ 물과 5℃ 물로 실험하였을 때 비교효과가 극대화된다.[3] 1963년 탄자니아의 에라스토 음펨바(Erasto B. Mpemba)가 처음 발견했다고 해서 붙은 명칭이다.[3]

      이런 현상이 발생하는 원인이 50년간 풀리지 않다가 2013년 11월 싱가포르 연구진에 의해 물의 수소결합과 공유결합의 에너지 상관관계에 의한 현상임이 밝혀졌다.[4]

  • 2022-08-27 17:31

    아직 다음 부분 책 한 줄도 못읽고 주말에 읽으려고 하는 데 새벽부터 남편이 저를 깨우더군요. 놀러가자고. 요새 새로 부서를 옮겨서 업무 파악하느라 줄창 야근하던 남편 처지를 모른척 할 수 없어 군말없이 따라 나섰네요. 미적분의 힘..몰래 숨겨 가방에 넣은 채로. 책 들고 나선걸 알면 틀림없이 꼭 책 안 읽는 사람이 이런 때만 읽는 척 한다고 잔소리헐까봐.

     

    저야 평생 카르페디엠 따위 먹는건가??? 허면서 어디 있든 뭘하든 제가 꽂힌 것에만 사로잡혀 사는 사람이라…때와 장소를 잘 구분해 사는 남편이 참 신기합니다. 그래도 그건 남편이지 저는 아닌지라…

    차에 앉아 시끄러운 음악을 들으며 읽지도 못하는 ‘미적분의 힘’ 조금 생각하다가 갑자기 또 이상한 상상이 떠올라 책 뒤편에 끄적여 봅니다. 차가 움직이는 바람에 글씨가 삐뚤빼뚤 합니다.

    그리고 일단 제가 그린 곡선은…. 비록 저렇게 삐뚤게 그리긴 했지만 아마도 e^x-e^(-x) 형태일 것으로 추측해 봅니다. 제가 두 곡선이 합성된 형태일 거라고 말한 건 이걸 염두에 두고 있어서 였답니다. 수학 공부 한 지가 오래되서 직접 그려서 확인해보긴 했지만요.^^

  • 2022-08-27 18:00

    413쪽 하단의 삼각파에 대한 설명 부분(뾰족한 모퉁이를 만드는 데 반드시 뾰족한 모퉁이가 필요한 것은 아니다) 및 414 쪽의 삼각파 합성 그림을 보며 슈뢰딩거 방정식에서 관측이 일어나는 순간의 불연속성 문제(슈뢰딩거 파동 방정식이 관측 행위로 인한 뾰족한 스파이크 파형으로 전환되지 않는 문제)를 이렇게 삼각파형 합성을 통해 수학적으로 해결될 수 없는 것인지가 궁금해지네요. 순음에 합쳐지는 모든 배음이 무한대로 간다면 충분히 뾰족해질 수 있지 않나???…하는 생각이 드네요. 

  • 2022-08-29 12:29

    9장 논리적인 우주

    질문1.

    (377p) 뉴턴은 자연이 논리적임을 보여주었다. 자연계의 원인과 결과는 기하학의 증명과 아주 비슷한 방식으로 작용하는데, 한 가지 참으로부터 다른 참이 논리적으로 나온다. 다만, 우리 마음속에서 한 개념이 다른 '개념'으로부터 나오는 것이 아니라, 세계에서 한 사건이 다른 '사건'으로부터 나온다는 점이 다르다. 

     

    저자는 미적분학의 논리가 개념이 아니라 사건으로부터 나온다고 표현하고 있는데요. 뉴턴 이전에 자연과 수학의 연결관계를 연구한 피타고라스나 갈릴레이가 있지만, 이들은 자연과 수의 관계를 "지시"하는 것이 미분방정식의 논리라는 것을 몰랐다고 말합니다.  미분방정식을 알았던 라이프니츠조차 뉴턴만큼 수학적으로 달인의 경지에 오르지 못했기 때무에 비밀에 싸인 우주의 논리를 오직 뉴턴만이 알았다고 저자는 말합니다. 뉴턴의 가장 유명한 방정식 f=a/m는 가속도(변화율)을 다루고 있다는 점에서 미분방정식이라고 저자는 말하는데요. 미분방정식의 논리가 개념이 아니라 사건으로부터 나온다는 말의 의미를 이 방정식의 활용과 관련지어서 생각해보면 어떨까 싶습니다.  

     

    (382p)뉴턴은 이 패러다임을 산산이 부숴버렸다. 뉴턴은 천상의 영역과 지상의 영역을 통합했고, 두 영역 모두에 동일한 물리학 법칙이 성립한다는 것을 보여주었다. 

     

    (383p) 뉴턴의 동료들은 이러한 연역적 추론 방법에 큰 충격을 받았으며, 철학적 이유에서 당혹감을 느꼈다. 그들 중 다수는 경험주의자였다. 그들은 논리는 수학 안에서만 적용된다고 믿었다. 자연은 실험과 관찰을 통해 연구해야 하는 대상이었다. 그들은 자연의 깊숙한 내면에 수학적 원리가 자리잡고 있고, 자연 현상들을 중력의 법칙과 운동의 법칙 같은 경험적 공리로부터 논리적으로 도출할 수 있다는 사실에 어안이 벙벙했다. 

     

    질문2

    뉴턴은 운동과 중력 법칙을 공리로 가정하고, 미분방정식논리를 이용해 추론(연역적)하여 천상과 지상의 운동을 설명했다고 하는데요. 뉴턴이 경험적인 공리로부터 연역적 추론을 도출하는 것이 당시 경험주의자들에게 어떤 충격을 안겨주었을까요? 이것이 연역법과 귀납법의 방법적 차이로 인해 발생했다면 인과법칙을 얘기하지 않을 수 없을 텐데요. 이 책은 뒷장에서 뉴턴의 기계론/결정론이 비선형계에서 부닥친 문제까지 나아가고 있습니다.  뉴턴의 인과율에는 어떤 문제를 품고 있었을까요? 

     

    • 2022-08-29 17:26

      질문 2 

      충격의 이유 : 경험주의자들이 자연계의 각각의 운동들에 대해 하나하나 오랜 관찰과 실험으로 고생해서 원리를 파악해내고 있는데, 뉴턴이 오랜 관찰 실험 같은거 필요없어 F=ma 와 만유인력법칙이라는 만능키로 모든 원리를 풀어버리니 충격을 받을 수 밖에 없지 않을까 싶어요.

      뉴턴의 인과율 문제 : 비선형계(복잡계)현실에서는 작은 차이가 나중에 큰 영향을 미치는 중요한 변수인데 뉴턴의 인과율은 작은 것들을 날려버리는 문제가 있으므로 뉴턴의 기계론/결정론(라플라스의 악마)가 성립하지 않는것이라 생각합니다.

      • 2022-08-29 17:37

        오호~ 뉴턴의 인과율 답변은 저도 같은 생각입니다. 후려치기 할 땐 좋았지만, 미분방정식이 가진 한계이기도 한 셈이지요. 그래서 초기값에서 작은 크기에 오차가 나더라도 나중에는 걷잡을 수 없이 큰 변수로 작용하니까요. 이것은 미분방정식의 한계가 아닐까 생각해봅니다.   

  • 2022-08-29 17:48

    11장 미적분학의 미래

     

    질문1

    또다시 카오스로 돌아왔다. 카오스는 결정론적인 것일까 아니면 비결정론적일까? 혹은 비결정론적 결정론일까? 아님 ‘우리’가 그것을 결정론적으로 바라볼 수 없는 것인가? 카오스는 이미 결정된 것이지, 그것을 예측할 수 없는 것은 우리 아닐까? 즉, 카오스를 카오스적으로 만드는 것은 우리 아닐까.

     

    질문2

    464p-도대체 왜 18차원이 되는 걸까? 각 물체의 운동을 나타내기 위해서 좌표와 각 방향에서의 속도를 나타내는 것까지는 수긍이 가지만 그 뒤 물체의 개수에 따라 차원이 늘어나고 그것이 말하는차원이 내가 알고 있는 그차원인지 헷갈린다. 

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