6장. 해석학의 위기, 기하학의 모험(엄밀성의 강박과 위험한 창안 사이)

(182p) 수학자들에게 19세기는 위기와 함께 왔다. 그 위기는 한편으로는 무한 개념을 끌어들인 해석학에서 나타났으며, 다른 한편으로는 기존의 자명한 공리에서 벗어난 새로운 기하학의 출현으로 나타났다. 전자에서 가장 먼저 문제로 드러난 것은 말했듯이 무한급수 이론에서였고, 후자에서 가장 중요한 문제였던 것은 평행선 공리와 결부된 새로운 기하학이었다. 다른 한편 대수학에서도 새로운 전환의 징조가 여러가지로 나타나기 시작했고, 기하학에서처럼 새로운 발상을 요구하는 변화가 있었지만, 자명한 공리의 형식을 취하지 않았기에 여기서의 변화는 위기로 감지되지 않았다. 

17세기는 보편수학의 시대(데카르트/라이프니츠), 18세기는 해석학의 시대라고 앞서 설명했구요.

이어서 19세기는 해석학이 위기를 맞게 됩니다. 여기서는 간단히 위기 세 가지를 정리해보자면...

   1. 무한개념

미적분학과 같은 해석학에서 가장 중요한 수학적 개념인 무한급수는 무한수열이 +기호로 더해져서 연결된 것을 말합니다. 

수학자 오일러가 어떤 무한급수의 값이 0이 되기도 하고 1이 되기도 하고 1/2가 되기도 하는 경우를 발견했지만 별다른 해결책을 내놓지 못했다.  

   2. 구슬공간의 기하학

구슬공간은 바깥에서 바라보는 사람에게는 평행선이 휘어지고 좁아지고 넓어지는 것처럼 보인다. 이를 해결하기 위해 평행선 공리가 바뀌고, 유클리드 기하학과 비유클리드기하학이 공존하게 된다. 

   3. 대수학을 기하학처럼 공리적인 방식으로 다루려고 시도

해밀턴은 사원수를 창안했지만, 그 수의 경우 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하지 않는다는 점을 발견했지만 발표하지 못하고 15년간 망설임. 이후 케일리는 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하지 않는 새로운 수와 대수학, 행렬대수학 창안했다.

(190p) 이전의 개념 내부에서 온 것이든, 새로운 개념, 새 공리의 창안에서 온 것이든, 수학의 위기는 이처럼 새로운 수학적 사유를 촉발하고 자극함으로써 수학 전체의 혁신과 발전에 크게 기여했다. 

수학이 이토록 변화의 학문이던가요? 1+1=2라는 변하지 않는 진리를 말하는 학문으로 생각했는데, 이렇게 정리된 위기들을 살펴보니 제가 수학에 대해 얼마나 편견을 갖고 있었는지 알겠습니다. 이왕이면 더 자세한 수학적 설명이 있었으면 좋으련만... 한편으로는 다행이기도 하구요. 아무튼 이러한 해석학의 위기는 어떻게 극복되었을까요? 

프랑스 수학자 달랑베르는 미분방정식에서 무한 개념을 "극한"을 구하는 것으로 바꿉니다. 한없이 작아진다거나 무한히 0에 가깝다는 식의 개념을 피하기 위해 "주어진 어떤 양보다도 어떤 수에 가까이 갈 때"라는 말로 바꾸었습니다. (184p)  19세기 수학자 코시는 어떤 값에 가까워지는 것을 수렴, 그 반대를 발산이고 말하며, 결과적으로 발산하는 무한급수를 수학에서 내쫓는 결정적 역할을 했다고 합니다. 이런 식으로 19세기의 수학은 그 엄밀성을 더해가는데요. 

무한 개념이 수학적으로 취약한 개념인 이유는 무엇일까요? 극한은 어떻게 무한의 개념을 대신할 수 있을까요? 어떤 점이 다른가요? 

7장. 산수와 대수의 힘

7장은 ‘존재한다’는 것만으로도 충분한가? 라는 내용으로 시작해서 수학에게 찾아온 위기에 대해, 세가지 예언을 빗대어 의미를 되짚어 보는 내용입니다.

19세기 가우스부터 이후 수학자들의 태도는, (198p) 답이 무언지 어떻게 구할 수 있는지와 상관없이 그저 존재하는지를 증명하려고 했다.
이는, 그저 형식적인 계산을 해서 새로운 관계식이다 답을 마구잡이로 만들어내던 이전 수학에 대한 일종의 반성이다.
답이 0도, 1도, 1/2도 되는 무한급수는 수학적으로 무의미하고 그 급수의 값은 존재하지 않는 것이라고 해야한다(수학적으로 어떤 근이나 식이 존재한다는 것은 모순이 없어야 한다)

이 시작 중심에는 가우스가 있는데, 그는 수학적 엄밀성에 대한 현대적 기준을 마련 했다고 합니다.

(196p) 가우스는 모든 대수방정식은 적어도 하나의 근을 갖는다’, ‘모든 n 차 대수 방정식은 n개의 근을 갖는다. 라는 정리에 대한 논문을 18세기 말 발표합니다.

이는, 유럽 수학의 커다란 방향을 일으켰는데, 이전 수학과 달리, ‘존재성의 증명’에 본격적인 관심 어떤 방정식의 근이 얼마인지를 찾는게 아니라, 일반적인 형태로 근이 존재하는지를 증명한다는 것으로 존재한다는 사실의 증명이라고 합니다.

이전 페르마 정리도 어떤 방정식을 만족시키는 정수근이 존재 유무를 따지는 내용이 있었으나, 사실 어떤 방정식을 만족시키는 근의 유무를 찾는 것 뿐, 가우스는, 일반적인 방정식의 근이 존재하는지, 미분계수가 존재하는지, 최소 상항이 존재하는지… ‘존재하는지’를 일반적으로 다루는 문제가 중요함을 이야기합니다. 이는 즉, 답이 무언지, 어떻게 구할 수 있는지가 아니라 그저 존재하는지를 묻는 문제입니다.

이것의 의미는, 이전 수학(그저 형식적인 계산을 해서 새로운 관계식이다 답을 마구잡이로 만들어내던)에 대한 반성 (무한급수에서 답이 여러가지가 될 수 있는 상태의 모순을 수학적으로 용인할 수 있는가, 즉 수학적으로 어떤 근이나 식이 존재한다는 것은 모순이 없어야 한다는 것) 
존재한다는 건 모순없이 존재하는 것만을 뜻하게 됨을, 19세기 전반의 방향에 대한 지표를 가우스가 마련합니다.

가우스가 보여준 또다른 새로운 면모는 논리적인 엄밀성과 엄격성. 수학 내부에 모순과 역설을 끌어들이는 엄밀성이 없는 형식적 계산과 엄밀하지 않은 증명을 깨뜨려 모순을 일으키지 않는 새로운 엄밀성의 기준과 모범을 제시 (정수론 연구-합동식이라고 불리는 새로운 방법으로 정수 안에 존재하는 수학적 질서에 대한 치밀한 연구)했다고 하네요.

이후는 세가지 예언의 답을 찾는 과정이 그려지고, 7장 마지막 부분에서는 이 당시 수학자들이 매달린 엄밀성과 무모순성이 그간의 위기에서 벗어나려는 것에 매달려 있던 것은 아닌가, 자유로움에 이르고자 한 것이나 그 끄달림도 버려야 진정 자유로울 수 있던 것은 아닌가 라고 맺고 있습니다. (224p) 

저자가 말하는 이 부분은 무엇을 이야기하고자 하는 것일까요?

위기를 막기 위해 집착한 것이 더 위기는 아닌가 라고 질문을 하는데요..

가우스를 비롯한 19세기 수학자들의 노력은 수학이란 것을 정립하는데 있어 매우 중요한 과정이라고 보는데, 이것을 가벼이 여긴 것일까요 아니면 무조건적으로 비판과 의심의 눈초리없이 수용하는 독자인 우리를 향한 경고일까요?

(p207) 수학이나 논리학을 신에 도달하는 통로라고, 그것은 통로여서 없어선 안되지만 또한 통로일 뿐이기에 거기에 매달리거나 머물러선 안 된다는 게 그의 독특한 생각이었다… 라고 화자가 스승의 말을 회고하는 부분에서 보듯이, 수학의 역사에서도 끊임없이 새로운 것을 창안하고 거기서 오는 위기를 직감하여 수없이 고뇌하고, 해결하려했던 많은 이들의 목숨건 노력들을 그냥 수용할 것이 아니라 곱씹어 의미를 다져가며 받아들여야 할 숭고한 것임을 말하는게 아닐까요?
그들이 그랬듯이 현대를 살아가는 우리도 그런 자세를 취하며 살아가야한다는 삶의 방식을 논하는건 아닐까요

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4장 수학의 마술, 혹은 마술사의 수학

98p- 무한소라는 개념은 계속해서 '움직임' 안에서 줄어들고 있는 것일까? 그렇다면 어떻게 이해가 되는지...(원래 이해하려 하는 것 자체가 어렵지만..) 무한소는 끝없이 작아지고 있는 것일까, 아니면 끝없이 작은 것일까?

106p- "(...)반면 운동은 점을 연속해서 이동하는 것 아닌가요?"; 그렇다면 어디까지가 연속적인가? 이로부터 미적분에서의 무한소라는 개념이 나오는 듯하다. 다시 말해, 이에 대한 수학의 답은 끝없이 작아질 때에 연속적일 수 있다는 것이다. 무한소는 끝없이 작지만, 동시에 존재를 가진다. 

128p- "(...)dt는 0인 건가 0이 아닌 건가?(...)어떤 수가 0이 아니면서 0처럼 취급된다는 건 있을 수 없어(...)모순이고 이율배반이야."

-무한소 dt는 0에 무한히 가까우면서 동시에 0은 아닌, 존재하지만 존재한다고 말할 수 없는 값이다.

132p- "(...)x축과 y축을 1에서 끊기만 하면 모든 면적이 같은게 되어버린단 말일세. 이런 일이 발생하는데도 자네의 계산법이 옳다고 주장하겠나?"

-우리는 무한소를 어떻게 이해해야 할까?

109p, 111p 등등- 식들의 계산적인 측면에서 이해가 잘 안되는 부분들이 있다: 공식들에 대한 흐름을 이해하신 분이 있다면 설명을...

책 읽을 여유만 있었어도..

아쉬움이 ㅎㅎ