• 적분학의 성배

• 국지적인 것 대 전체적인 것

• 멱급수를 만지작 거리다.

• 메시업 아티스트

질문 : 8장 343p ‘미분소를 통한 도함수’ 에 보면 라이프니츠는 도함수를 어떻게 구하는지 나온다.
근데 뉴턴은 어떻게 구했지?
질문 : 8장 350p ‘라이프니츠는 어떻게 미분소와 기본정리를 발견했을까’ 에서 직사각형의 면적합 부분 뭔소린지 모르겠음

뉴턴보다 10년 늦게 미적분학을 발견했지만, 공동발견자로 인정받는 라이프니츠.

왜냐? 그의 미적분학은 우아할 뿐 아니라 쉽기 때문에 오늘날에도 그대로 쓰이고 있다. 

그는 1667년 적분 기호를 처음 사용했고, 1686년 이 원고를 발표했다. (라이프니츠가 뉴턴에게 편지를 보내기 시작한 것은 1676년)

무한소/미분소의 유용성

그는 기울기/순간속도/ 곡선으로 둘러싸인 지역의 면적을 구하는데 꼭 필요한 무한히 작은 변화를 적절하게 간결하게 표현하기 위해 무한소/미분소 개념을 이용합니다. 이때 무한히 작은 변화를 연구하려면, 차수가 1차인 dx를 포함하는 항만을 남기고 나머지 델타x 제곱, 세제곱 부분은 값이 작기 때문에 버린다. 그렇기 때문에 계산이 쉽다. 문제점은 실수 체계 안에서 존재하지 않는다는 것. dx는 0이 아닌데도 x+dx=x 라는 방정식이 성립해야 한다... 실제 세계에서는 작지만 까다로운 면적을 무시할 수 없을 텐데, 무한소의 세계에서는 무시할 만한 면적은 무시하라. 

라이프니츠는 어떻게 미분소와 기본 정리를 발견했을까? 

(350p)뉴턴은 연속적인 대상인 운동과 흐름에 관해, 라이프니츠는 불연속적인 수학을 생각하면서 많은 시간을 보냈다... 고 하는데, 이것이 둘 사이 연구방식에 차이를 가져오는 핵심 개념으로 생각된다. 둘다 무한급수의 합을 계산하는 방식을 이용하지만, 라이프니츠의 계산 방식이 훨씬 간단하다. 먼저 불규칙한 계단을 상상하자. 각 계단마다 단 높이를 계산하는 것은 복잡하기 때문에 계단의 꼭대기에서 그 바닥의 고도를 빼는 방식으로 계단 전체 높이를 구한다. (자세한 과정은 353~355p) 무한히 많은 직사각형들의 면적 합을 망원합/상쇄합이라고 하는데, 그 이유는 양끝을 제외한 중간값을 상쇄하기 때문이다. 

급수가 주어졌을 때 그 합을 구하는 문제 - 라이프니츠의 적분

급수가 주어졌을 때 그 차가 주어진 급수의 항들과 일치하는 또 다른 급수를 찾는 문제 - 라이프니츠의 미분

라이프니츠와 달리, 뉴턴은 유율과 팽창하는 면적으로 계산한다.

시간에 따른 변화율, 즉 그 도함수를 말한다.(국지적 연산) -뉴턴의 미분

뉴턴은 곡선 아래 면적을 계산하는 것으로 운동의 가속도(변화율)를 구했다.(전체적 연산)-뉴턴의 적분

질문. (338p) 라이프니츠가 자신은 무한히 많은 양도 믿지 않지만 무한히 작은 양도 믿지 않는다고 하면서 무한대와 무한소를 믿지 않는다고 말합니다. 이 둘은 미적분학을 표현하기 위해 마음이 만들어낸 허구라고 생각한다고 밝힙니다. 여기서 그는 왜 무한대/무한소를  마음이 만들어낸 허구라고 말했을까요? "무한소가 실제 세계(실수 체계)에 존재하지 않지만,  실수를 일반화한 특정 비표준적 수 체계에 존재한다"고 말하는 의미는 무엇일까요? 무한소와 무리수와의 관계는?

6장 질문...

(266p) 등속원운동과 사인파의 운동이 1/4사이클 어긋난다는 그림을 보여줍니다. 낮의 길이에 따른 파동에 비해 사인파는 낮의 길이의 변화율이기 때문에  1/4사이클 앞서 정점에 이릅니다. (268p) 시계방향으로 도는 등속 원운동이 어떻게 사인파를 그리는지 말하는 부분에서 "점이 가장 동쪽 지점에 이르렀을 때, 이것은 사인파의 마루 또는 일 년 중 낮의 길이가 가장 긴 날에 해당한다. "

그런데, 왜 저는 가장 동쪽 지점에서 사인파가 마루가 아니라 골로 향하고, 낮의 가장 짧은 날로 그려지는 걸까요??? 제가 잘 못 이해하는 걸까요? 아니면 이 문장 잘못 기입된 걸까요? 

6장; 변화의 용어, 미적분

미적분은 변화를 기술하는 수학이다. 그리고 이런 변화가 ‘얼마나/어떻게’ 일어나게 되는가에 대한 것이 ‘변화율’이다. 이는 델타y/델타x로 표현되는데 y에 생긴 변화를 x의 변화량으로 나눈 값이다. 이러한 변화의 정도, 즉 변화율을 그래프에 나타내게 되면 곡선의 기울기로 표현될 수 있는데, 변수가 하나뿐인 함수는 xy좌표평면에 곡선이라는 형태로 그려낼 수 있기 때문에, 기울기르 알아냄으로서 변화율을 알 수 있다. 

그러나 우리가 사는 세계에 이를 적용할 때에는 변화율이 일정한 것이 아니라, 계속적으로 변화하는 경우가 많다. 이를 어떻게 다루어야 할까? 다시말해 이를 xy평면에서의 곡선의 기울기에 대한 문제로 옮겨본다면, 기울기가 계속 변한다면 이를 어떻게 정의해야 할까? 

일단 미적분에서 변화율은 상수가 아니라 다른 변수들이 변함에 따라 계속해서 변하기 때문에 그 자체가 함수이다. 

변화율을 함수로 정의하는 ‘도함수’가 이를 표현하는 개념이다. 도함수는 dy/dx로 나타낸다. 이 형태는 앞에서 나왔던 델타y/델타x의 꼴과 비슷하다고 볼 수 있는데, 다만 여기서 dy와 dx는 무한히 작다(무한소)고 가정하는 점에 있어서 다르다. 이들은 무한히 작은 변화에 해당한다.

미적분학에서 다루는 문제는 크게 3가지가 있다- 주어진 곡선 위 모든 지점에서의 기울기를 구하는 문제, 그 반대로 모든 지점에서의 기울기가 주어졌을 때 곡선을 구하는 문제, 그리고 주어진 곡선 아래의 면적을 구하는 문제. 

미적분학이 등장하기 이전에는 곡선은 기하학적인, “흥미로운” 존재였다. 그리고 수학자들은 이 기하학적 성질들을 계량화하려 애썼다. 그러나 이제는 곡선을 만드는 함수들에 더 관심을 가진다. 이 관심이 향하는 방향은 곡선이 함수로 인해 만들어지게 된 과정 자체이지, 그 남은 흔적(곡선)이 아니다. 

곡선의 기울기를 말할 때, 이는 단지 특정된 한 점에서의 기울기를 의미하는 것이 아니라 ‘임의의 점’ x에서의 기울기를 말한다. 즉, 기울기가 x의 함수로서 ‘어떻게’ 변하는지를 알아내는 것이 목표이다. 면적을 구하는 문제도 마찬가지로 x의 값에 따라 변화하는 것이기에 그 ‘관계’를 알아내는 것이 중요하다. 

많은 상황에서 한 변수가 다른 변수와 비례하는 선형적 관계가 생기는데, 이러한 상황에서 종속 변수는 독립 변수에 대해서 일정한 비율로 변한다(한 변수의 값이 변함에 따라 나머지 하나가 변화). 미적분학에서의 변화율은 언제나 두 가지 변화의 비율을 뜻한다(델타y/델타x). 변하는 것들에 대해 다룰 때 변화율이 일정하기도 하지만, 변하는 정도가 계속해서 변화하는 경우도 있다. 그렇기에 이와 같은 ‘복잡한 상황’에서 변화율은 정해진 값인 상수가 아니라 다른 값들이 변화함에 따라 변할 수 있는 ‘함수’이다. 사실 변화율이 일정한 경우에도 이는 함수이다. 다만 ‘상수 함수’일 뿐이다. 

여기서 함수는 그래프를 만들어내는, 어떤 값을 넣으면 규칙에 따라 다른 값을 뱉어내는 그 규칙 자체라는 것에 주목하자. 이를 계속 반복한 그 값들의 ‘흔적’인 함수의 그래프와 혼동하지 말자. 

‘y=x제곱’의 그래프를 보자. 0을 제외한 나머지 점들에서의 접선의 기울기는 한 눈에 알기 어렵다. 이 포물선 위의 임의의 점(x,y)을 확대하여 그 점을 계속해서 관찰할 경우 어떻게 될디 상상해보자. 점점 더 그 지점을 확대할수록 그 포물선의 부분은 직선에 가까워질 것이다. 그리고 이를 무한히 확대하면(즉 포물선 중에서 무한히 작은 조각을 관찰한다면) 그 부분은 사실상 ‘거의’ 직선일 것이다. 이 극한 직선을 곡선의 해당 지점을 지나가는 접선으로 정의하고 그 기울기를 그 점의 ‘도함수’로 정의하자. 아까 가정했던 곡선을 한 점에 대해 확대할수록 곡선은 직선에 가까워지고 이 무한히 작은 곡선 조각의 높이 대 길이 비율은 무한히 작은 x와 무한히 작은 y의 비율 델타y/델타x로 나타난다. 이를 컴퓨터 그래픽으로 보면 기울기는 임의의 점에서 2x의 형태를 가짐을 볼 수 있다. 이를 미적분학에서는 x제곱의 도함수는 2x라고 표현한다. 여기서 기울기는 정해진 값이 아니라 x에 따라 변하는 함수이다. 

실제 생활에서 그래프를 분석할 때, 한점에서 확대를 하여도 그 부분이 직선에 가까워지지 않는 ‘매끄럽지 않은 직선’이 있는 경우도 있는데, 이러한 상황은 물리적 계에서 도약이 일어날 때 발생한다. 그런 지점에서의 도함수는 구할 수 없다. 그러나 현대 미적분학에서는 이를 다루는 법을 터득하였다.

(279p) 분자 수준에서 측정하는 경우 운동은 전혀 매끄럽지 않기 때문에 오히려 데이터가 우리에게 말해주는 게 별로 없다고 합니다. 따라서 전체적인 추세에 초점을 맞추는 경우 요동을 제거해야 한다고 합니다. 미적분학의 매끄러움(연속적인 운동)이 우주의 운동과 변화의 본질을 들여다볼 수 있게 엄청난 통찰력을 제공한다고 저자는 극찬을 하는데요. 이렇게 인위적으로 데이터를 매끄럽게 하는 경우 운동과 변화를 왜곡시키는 부분은 없을까요? 우사인 볼트의 달리기를 도약과 착지라는 미시적 관점에서 불연속적인 운동으로 보는 잇점도 있을 것 같은데...