[미적분의 힘] 3장 4장 5장 메모는 요기~

미르
2022-08-03 18:06
350

요기!

댓글 11
  • 2022-08-03 18:30

    4장 미분학에 서광이 비치다.

    현재 교과 과정은 미분을 배운뒤에 적분을 배우지만, 역사는 기원전 3세기 적분이 먼저 쓰였고 미분은 무려 17세기가 되서야 나타났다.
    그 이유는 기하학에 비해 대수학이 늦게 자라났고 17세기가 되서야 만났기 때문이다.

    - 동양에서 탄생하고 발전한 대수학

    많은 사람들이 수학은 유럽에서 생겨난것으로 생각하지만 대수학은 중동과 아시아에서 나타났고, 그리스의 기하학들도 중동과 아시아에서 많은 영향을 받았다.

    - 대수학의 융성과 기하학의 쇠퇴

    기원전 3세기 이후 대수학이 발달하기 전까지 1200년 동안 수학의 발전 거의 없었다고 해도 과언이 아니었다.
    그 이후 중동과 아시아를 중심으로 숫자를 문자로 ‘대체’해서 계산하는 ‘대’수학이 발달하였고, 소수가 생기면서 예전에는 감히 생각하지 못한 어떤 대상이든 묻지도 따지지도 않고 숫자로 표현해버리는 기법(?)이 나타났다.

    - 대수학과 기하학이 만나다

    페르마와 데카르트가 좌표계를 도입하면서 기하학은 대수학과 만나게 되는데
    수를 불연속적인 양으로 간주하고 길이나 크기는 연속적인 것으로 생각하는 고대 그리스인에게 수가 직선위에 연속적으로 늘어선 점으로 표시된다는 것은 상상도 못할 일이었다.

    - 방정식을 곡선으로 나타내다.

    페르마와 데카르트는 1차 방정식은 평면에 직선으로 나타난다는 사실과 2차방정식은 곡선으로 나타낼 수 있다는 사실을 알게되었다.
    또한 곡선은 포물선, 타원, 쌍곡선, 원 이렇게 네 가지밖에 없다는 것을 알게되었는데 이는 고전적인 곡선의 부활이었다.

    - 대수학과 기하학의 결합
    기하학은 직관적이고 천재적인 반면 대수학은 체계적이고 기계적인데 이 둘이 합쳐지면서 시간과 에너지를 절약하게 해주었으며 새로운 상상력을 발휘할 수 있게 되었다.

    - 페르마 대 데카르트
    순수한 페르마를 야심가인 데카르트가 많이 괴롭혔다.
    데카르트 좌표계도 페르마가 먼저 생각한 것인데 묻혔다.

    - 해석을 찾기 위한 노력, 오랫동안 실종된 발견의 방법
    해석은 답을 가지고 주어진 전제를 찾아 시작점을 찾아가는 반면,
    종합은 전제를 가지고 여러가지 시도를 하다가 원하는 결과에 이르는 것을 의미한다.
    대수학은 해석적 방법이라 생각해서 무시를 당했지만 실용적이었다.
    아르키메데스의 시소 증명은 해석적 방법으로 확인을 한후 종합적 방법으로 증명을 했다.

    - 짐칸을 채우는 최적화 문제
    짐칸 최적화 문제는 지금은 미분을 알기에 도함수가 0 이 되도록 계산하면 쉽게 찾을 수 있지만
    페르마는 곡선이 직선과 두 지점에서 만나다가 한 지점에서 만나는 순간이 최대값임을 생각하고 두 지점이 거의 같은 같은 된다는 ‘유사 등가’라는 개념을 도입해서 최대값을 구했다.
    이렇게 초기의 미분 개념이 생겼다.

    - 페르마는 어떻게 FBI 에 도움을 주었는가?

    FBI 는 범죄기록 확인을 위해서 수천만 명의 지문 기록을 보유하고 있는데, 그 양이 방대하여 관리하기가 힘들었다.
    하지만 지문은 패턴이므로 압축을 할수가 있고 페르마의 최적값 구하는 방식으로 지문과 거의 같은 패턴이 되는 변수를 알아내 10 메가바이트의 파일을 0.5 메가 바이트의 크기로 압축을 할 수 있도록 도와주었다.

    - 최소 시간의 원리
    페르마는 물에서 빛이 굴절되는 현상을 연구하다가 빛이 가장 효율적인 방식으로 이동한다는
    최소시간의 원리를 알아냈고, 이는 최소 작용의 원리로 일반화되어 이후 이론과학을 지배하는 추론 방식이 되었다.

    - 접선을 둘러싼 논란
    페르마와 데카르트 둘다 곡선의 접선을 찾는 방법을 알아냈지만
    페르마의 것은 곡선과 직선의 교점으로 찾아 간편했고,
    데카르트는 곡선과 원의 교점으로 찾아 복잡했다.

    - 약속의 땅이 눈앞에 보이다.
    최소 시간의 원리는 최적화가 자연의 구조 속에 깊이 뿌리박혀 있음을 보여주었다.
    페르마는 곡선 아래의 면적까지 구해서 미분과 적분의 통합에 거의 다가갔지만 비밀은 발견하지 못했고 이후 뉴턴과 라이프니츠가 이 비밀을 발견하게 되었다.

     

     

  • 2022-08-07 18:13

    154p 모든 것이 딱 들어맞는 것 처럼 보였다. 기하학이 우주를 지배했다.

    사실 이 이론은 데이터와 딱 들어맞지 않는데, 특히 수성과 목성의 위치는 실제 위치와 차이가 좀 난다.

    양자역학도 그렇고 과학의 진화는 항상 이런 방식인듯, 꽤 많이 들어맞으면 진리라 생각하고 약간의 오차 베타붕괴 같은거는 무시. 아는 만큼에서만 딱 들어맞는 것이다.

     

    171p 피타고라스의 정리는 피타고라스가 발견한 것이 아니다.

    우리가 줏어들은 대부분은 짧은 문장이기에 잘못 알고 있는 것이 대부분이다. 

    자기 좋을대로 해석한다. 역사의 흐름과 디테일을 읽어야 하는 중요성

    ex) 하마, 코뿔소,  함무라비 법전 눈에는 눈 이에는 이, 무소의 뿔처럼 혼자서 가라

     

    172p 조충지는 유휘의 방법을 정24576각형에 적용했다.

    영웅적이라고 부를 만한 이 계산을 통해 조충지는 파이의 값을 소수점 아래 일곱째 자리 범위까지 좁혔다.

    수학이란 무엇인가? 

    ex) 가우스 덧셈, 로그, 지수, 뉴턴의 이항정리로 파이값 계산, 대수학과 기하학의 만남 해석 기하학

     

    187p 왜 '해석'기하학인가?

     

    222p 왜 '함'수 인가? 왜 '멱'함수 인가?

     

    • 2022-08-08 12:41

      무소의 뿔처럼 혼자서 가라... 는 요요님 불교산책에 잘 나와 있어서 공유합니다.

       

      https://moontaknet.com/?page_id=8115&mod=document&uid=34827

    • 2022-08-08 23:02

      멱함수 의  冪  : 덮다라는 원래 뜻에서 거듭한다는 의미를 결부시켜 굳어진 것 같아요 https://namu.wiki/w/冪 

      함수 : 뭔가를 담는 상자를 뜻하는 ' '을 볼 때, f(x)=y 의 x 를 담아 y의 결과를 내어주는 식 그대로의 모습을 표현한 게 아닐까요 'ㅇ'

      무리수/유리수의 理 : 오역이라는 썰에 대해선 이전 책에 나왔던 것 같아요  https://namu.wiki/w/%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98#s-1.6

      해석 기하학:  Analytic geometry, also called coordinate geometry, mathematical subject in which algebraic symbolism and methods are used to represent and solve problems in geometry. The importance of analytic geometry is that it establishes a correspondence between geometric curves and algebraic equations.
      => 구글이 번역합니다; 좌표 기하학이라고도 하는 분석 기하학은 대수적 기호와 방법을 사용하여 기하학의 문제를 표현하고 해결하는 수학적 주제입니다. 해석 기하학의 중요성은 기하학 곡선과 대수 방정식 사이의 대응 관계를 설정한다는 것입니다.

      책에서, 고대에 쓰이던 의미의 해석(analysis)는 결과를 '증명'하는 수단이 아니라, 결과를 '발견'하는 수단으로 이해해야 하고, 발견의 방법을 알고 있었지만 의도적으로 숨겼다는 의심으로 '발견'의 의미를 가졌다는데, 기하학 곡선과 대수 방정식 사이의 대응 관계를 발견한다라는 뜻일까요?^^;

      복잡한 세상을 수학이라는 언어로 단순화 시키는 것을 이야기하신 것처럼 
      어려워보이던 기하학을 대수학의 힘으로 간결히 표현해냄으로써 해석해낸다 라는 의미로요~ㅋ 

       

  • 2022-08-08 08:09

    3장은 갈릴레오와 케플러가 주인공이다. 이들이 아르키메데스와 다른 점은 정적인 세계를 뛰어넘어 물체가 어떻게 움직이는지 탐구했다.  

     

    1) 수학은 우주의 언어다.  

    (126p) 1623년  갈릴레이가 우주에 대해 한 말이 이 책에 소개되어 있다. 갈릴레이는 우주를 "계속 우리 눈앞에 펼쳐져 있는... 이 웅대한 책"이라고 묘사했지만, "먼저 그 언어를 이해하고 그 책에 써진 문자를 읽는 법을 배우지 않으면, 이 책을 제대로 이해할 수 없다. 이 책은 수학의 언어로 쓰여 있으며, 그 기호는 삼각형과 원을 비롯한 그 밖의 기하학 도형이다. 이것들이 없다면 인간은 단 한 단어조차 이해하는 것이 불가능하다. 기하학 도형들이 없다면, 캄캄한 미로 속에서 방황하게 된다."라고 경고했다. 

     

    지난 번 후기에서도 이 문장을 해석하려는 시도를 했었다. 그런데, 실제 문장을 다시 만났다. 대략적으로는 자연현상을 수학적으로 이해하려는 시도였다고 퉁칠 수 있지만, 기하학 도형의 역할을 빠트린 셈이다. 아니 몰랐던 것이다. 그가 수치적 규칙을 찾기 위해 태양과 그 주변 행성들의 운동을 얼마나 많은 원과 삼각형으로 풀어내려고 했는지에 대해서 말이다. 

     

    (136~139p)그리고 수학적 규칙이라는 것은 낙체의 홀수의 법칙과 같이 구체적인 사례를 볼 수 있다. 물체가 떨어지는 낙체의 법칙은 물체가 굴러가는 방식에  1, 3, 5, 7...의 홀수의 법칙이 숨어있다는 것을 발견했다. 그는 이런 법칙을 문자와 방정식이 아니라 단어와 숫자와 비율로 표현했다. 여기서 그의 발견이 중요한 이유는 오늘날의 미분 개념인 "순간 속력"을 그가 직관적으로 이해했기 때문이다. 그의 홀수법칙은 전체 낙하 거리가 흐른 시간의 제곱에 비례한다고 말해주는 것 같다. 그는 낙체가 지나온 거리를 알려주는 법칙과 함께 속력을 알려주는 법칙도 발견했다. 낙체의 속력은 낙하 시간에 비례해 증가한다. 낙하 속력은 0에서 갑자기 더 높은 속력으로 건너뛰는 것이 아니라 0에서 시작해 갈수록 점점 속력이 커진다. 

     

    (140~141p)그렇다면 낙체의 법칙을 앞서 연구한 아리스토텔레스는 왜 갈릴레이와 달랐을까? 그는 무거운 물체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어지며, 낙하 속도는 무게에 비례한다고 주장했다. 아리스토텔레스의 주장은 매질이 작은 입자의 경우는 성립한다. 그러나 갈릴레이가 주로 연구했던 포탄이나 총알의 경우는 달랐다. 이 둘의 길이 달랐던 이유는 공기 저항을 너무나 중요하게 여긴 아리스토텔레스와 그런 잡음에 현혹되지 않은 갈릴레이라고 저자는 표현한다. 과학의 핵심은 털끝만 한 오류를 무시하는 것은 허용할 수 있지만 삭구만한 오류를 무시해서는 안 된다는 것이다. 여기서 털끝은 공기 저항이고 삭구는 낙하의 법칙이라는 자연현상을 말한다. 자연현상 안에서 공기 저항은 분명 있지만, 그것이 낙하 물건의 속력을 위배할 수는 없는 것이다. 

     

    갈릴레이는 날아가는 총탄이나 포탄 같은 투사체의 운동을 연구했다고 한다. 16~17세기는 동서양 모두 해전의 시기였다고 한다. 마침 나는 영화 <한산>을 보았는데, 임진왜란이 시작된 한산대첩은 1592년이고, 갈리레이가 망원경을 이용해 행성 운동을 지켜보기 시작한 1610년, 케플러가 막대한 관측자료를 손에 넣은 시기가 1601년이라는 점에 흥미를 갖게 되었다. 그리고 갈릴레이가 <새로운 두 과학>이라는 책을 쓰게된 배경은 해전??에 쓸 배 제작 관련 자문을 받은 것이 계기가 되었다는 것이다(우리나라 역자 서문). 여기에는 배의 노젖기의 효율이라던가 포탄의 거리예측, 그리고 목재로된 배를 얼마나 길게 만들 수 있느냐 등 임진왜란 당시 거북선을 만든 사람들의 고민이라고 해도 무방할 만큼 닮아있다. 

     

    영화를 보고 와서 책을 읽었기 때문에 나중에 궁금증이 생겼다. 과연 영화 <한산>은 포탄의 기울기를 어떻게 표현했을까? 왜냐하면 내가 기억하기로는 박진감과 일본 격퇴의 짜릿함을 선사하기 위해 음향과 시각적 효과가 상당히 즉각적이게 표현되었던 것 같다. 그래서 마치 포탄이 곧장 날아가는 느낌적인 느낌?? 그 당시 거북선은 최대 500미터까지 포탄을 쏠 수 있었다고 한다. 그렇다면은 우리 기술자들도 포물선의 궤적을 공부했을 테고, 기하학을 사용한 셈이지 않은가. 

     

    (160~161p) 케플러는 1609년 행성 운동의 제1, 제2법칙을 발견했다. 특히 제2법칙은 행성이 일정한 속도로 움직이지 않는다는 것이다. 대신 태양에 가까워질수록 속도가 빨라진다. 이것은 궤도상 동일한 시간 간격만큼 떨어진 두 점을 선택하기만 하면 두 점의 위치와 상관 없이 그 결과로 생긴 부채꼴의 면적이 항상 동일하기 때문이다. 케플러는 부채꼴의 면적을 아르키메데스가 그랬던 것처럼 잘게 쪼개서  삼각형 면적을 계산하여 부채꼴 면적을 구했다. 갈릴레이와 케플러, 이 둘이 아르키메데스의 정적인 곡선 연구를 운동의 패턴 연구로 전환했다는 점이다. 

     

    그렇다면 "수학은 우주의 언어다"라는 갈릴레이의 말과 "만물(의 근원)은 수(number)이다"라는 피타고라스의 말은 어떻게 다른가? 혹시 같은가? 어떤점에서 그러한가? 

    • 2022-08-08 13:17

      피타고라스의 말을 이해할 수 있는 배경지식은 여기서 확인해보세요. 링크 자동 연결이 안 되니까 주소를 복사해서 사용하세요.

       

      https://post.naver.com/viewer/postView.naver?volumeNo=16226054&memberNo=16868720

      • 2022-08-08 13:42

        17, 18세기의 수학적 융통성의 시대에서 19세기 엄숙주의 시대로의 회귀로 비교될 수 있지 않을까요? 수학은 우주의 언어다 라는 말을 들었을 때 저는 수학의 정밀성을 떠올린데 반해, 실제 갈릴레이는 문자와 식(방정식)을 싫어했다고 하니 아이러니 입니다. 이들은 방정식 대신 비율, 숫자 등으로 표현하길 좋아했다고 합니다. 이렇게 대수학이 천시받는 시기가 있었다는 것에 공연한 통쾌함 마저... 혹시 17세기 수학자들도 수포자... 방정식만 보면 멀미가 나는... ㅎㅎㅎ

         

        오히려 19세기 수학자들은 피타고라스로의 회귀 같습니다. 정수론에 열광하고, 무리수를 받아들이지 못했던 모습들이 닮아 있습니다. 

         

        갈릴레이가 "수학"이라고 말하는 것과 피타고라스가 "숫자"라고 말하는 것에는 엄청난 간격이 있는 것 아닌가 싶습니다. 마치 17, 18세기와 19세기가 수학에 대한 관점이 달랐던 것처럼요. 갈릴레이의 홀수법칙은 마치 정수론의 일부처럼 보이지만, 빗면에서의 속력을 연속적으로 표현하려고 했던 것에서 볼 때 그에게는 이미 무한수의 개념이 자리잡고 있었다고 저자는 평가하는 것 같습니다. 그랬기에 속력이 0에서 급격하게 건너뛰며 높아지는 것이 아니라(정수가 아니라) 부드럽게 점점 속력이 커진다고 주장할 수 있었을 것입니다. 이것이 저자가 그가 직관적으로 미분 개념을 이해했다고 평가한 부분이 아닐까 싶습니다. 

        이에 비해 피타고라스의 수는 불연속적 개념의 정수, 유리수를 말하며, 그는 수 그자체가 우주라고 생각했기에 만물의 근원에 해당하는 어떤 수가 있다고 말할 수 있었을 것입니다. (1은 생성을, 2는 최초의 여성을, 3은 최초의 남성을, 4는 공의와 질서를 나타내며 이 네 수가 합해져서 모든 공간을 만든다. 우주는 지구와 8개의 행성과 1개의 반지구, 이 10개로 만들어졌다고 주장했다. )

         

        갈릴레이와 피타고라스의 닮은 점은 우주를 수학의 법칙으로 풀어내려고 한 점, 그런 와중에 도형과 기하학을 사용했다는 점.  등이 있을 것이다. 그러나 이들은 그 수를 대하는 방법에서 차이를 보였기 때문에 가는 길이 전혀 달랐던 것 아닐까. 

         

        이것은 갈릴레이가 과학을 대하는 태도에서도 차이를 드러냈다. 그가 공기 저항을 낙하법칙에서 주요한 변수로 취급하지 않고, 더 중요한 낙하의 법칙을 설명해낸데 비해, 피타고라스는 자신들이 예측하지 못한 변수, 무리수의 발견을 오히려 감추고자 했기 때문에 결국에 수(학)의 암흑기가 17세기 이전까지 지속된 것이 아닐까. 

         

  • 2022-08-08 12:29
    제5장 교차로
    이 장은 미적분학의 3가지 유용성 부분 중 곡선에서 운동과 변화로 나아가는 중간지점이다.
    그러니까 정적인 기하학(곡선)의 세계에서 동적인 기하학(운동과 변화) 으로 나아가는 셈이다.
     
    수학에 중요한 교차점들이 있다.
    -방정식과 곡선의 만남
    -대수학과 기하학의 만남
    -동양 수학과 서양 수학의 만남..
     
    함수의 등장
    -함수는 관계를 수학적으로 모형화하기 위해 사용되었다.
    즉, 하나가 다른 것에 어떤 영향을 미치닌지 보여주는 수들의 관계이다.
     
    멱함수 (power function)
    -변수 x가 거듭제곱으로 표시된 함수
     
    지수함수 (exponential function)
    -수의 증가가 일정비율만큼 곱해지면서 증가한다
     
    로그 (log)
    -지수 함수의 역함수이다. 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타낸다
    -17세기에 곱하기 및 나누기의 계산을 간편하게 해내기 위해 존 네이피어가 발명
    -곱셈문제를 훨씬 쉬운 덧셈문제로 바꾼다

  • 2022-08-08 20:05

    (로그에 더하는 이야기)
    실용적인 것보다 철학적인 측면이 더 컸던 수학이 ,
    15-16세기경 상업이 발달하고, 항해술이 발달하고 망원경 발명하고 천문학이 발전하게 되면서 실용적인 부분이 필요하게 되었다.

    천문학자들이 별 사이 거리 계산하기에 숫자가 너무 커서 계산이 힘들었는데, 존 네이피어라는 스코틀랜드 수학자가 곱셈과 나눔셋을 덧셈과 뺄셈으로 쉽게 표기하는 방법을 발견을 하게 된다.

    오늘날엔 로그의 정의를 지수로부터 도출해내는데 그 당시엔 지수가 없었으므로, 선분 길이의 비를 이용해 로그를 정의했다.

    그의 로그의 발견으로 여러 분야에서 덕을 보게 되었고, 이후 브리그스와 함께 상용로그를 개발하게 되고, 로그 산술 책을 출판하고 오늘날의 상용로그표가 된다.

    오늘날 계산기나 컴퓨터의 발명으로 계산의 복잡도를 해결하기 위했던 로그의 본질적인 의미는 많이 퇴색했으나, 요즘에도 크게 이용되는 사례로
    지진의 크기를 측정하거나 소리의 세기를 표시할 때, 별의 밝기 등급, 산성도 등이 있다.

    • 2022-08-09 01:51

      자연상수 e는 베르누이가 이자를 가장 크게 받는 복리 계산을 하다가 얻은 값인데,  계산한 그 값이 네이비어가 작성한 로그표에도 있었다고 함.
      하지만 이를 딱히 발표한건 아니었는데, 이후 오일러(Euler)가 재정의하면서 그 이름에서 따서 e라고 명칭하게 되었다. 
      자연상수라는 이름이 앞에 붙은 것은, 시간을 변수로 움직이는 모든 자연현상은  e와 밀접한 관계가 있음을 발견하게 된 것과 밀접하다. 
      대표적으로 나무,인간의 성장속도,  새로운 석유를 찾을 수 있는 시간, 새로운 소문이 퍼져나가는 시간 등과 연관이 있다. 더 나아가 로지스틱 개체군 성장모델로 이어지게 되는데, 처음에는 아주 빠르게 증가하는데 점점 증가 속도가 줄어드는 것을 설명한다. 
       

       

       

      • 2022-08-12 16:28

        재미난 설명 감사드려요. 

        그런데 부르기 편해서인가 어찌된 일인가… ‘자연상수’라는 말이 자연스럽게 쓰였는데 

        엄밀히 하면 e 는 ‘자연로그의 밑으로 쓰이는 상수’ 인거지 자연상수라는 것은 부적절한 표현으로 알고 있습니다.

        그냥 상수 e 라고 하는것이…

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