1장- 무한

직선, 곡선, 그리고 무한

1장의 시작은 고대 기하학을 언급하며 기하학에서 직선과 곡선을 서로 이어준 개념으로서 무한을 이야기한다. 이중에서도 우리가 흔히 배우는 원의 넓이를 구하는 방법을 보여주는데, 다시말해, 원의 조각을 '무한히' 쪼개서 이를 사실상 직사각형의 형태로 만들어 직선의 길이를 계산하듯 곡선을 계산할 수 있게 한 것이다. 즉, 무한의 개념으로 인해서 곡선을 직선화 시키는데 성공했다는 것을 보여준다. 

실무한과 가무한

우리는 무한의 개념을 표상할 때 두가지 방법을 생각할 수 있다. 이 무한을 순환소수의 '무한히' 반복되는 숫자들로 생각한다면, 우리는 1/3을 0.333...으로 볼 때, ㅇ.3의 끝에 3을 더 추가하는 식으로 점점 더 정확한 근사값에 다가갈 수 있다고 여길 수 있으며, 이를 '잠재적 무한'(가무한)이라고 한다. 반면 이미 0.3 뒤에 3이 '무한히' 늘어서 있다고 여기지만 이를 표현함에 있어서 0.333..으로 나타낸다고 보는 '실무한'적 무한 개념이 있다. 

이때 실무한적 개념을 이용할 경우 생기는 문제점들을 저자는 이야기하는데, 이를테면 원이 무한 개의 미세한 변들로 이루어져있다고 가정할 경우, 즉 '무한 정다각형'일 경우 원주의 길이는 변 하나당 길이를 0으로 생각하고 거기에 변의 개수인 무한을 곱하는 방식일 것이다. 그러나 그렇게 된다면 모든 원이 크기에 상관없이 모두 같은 길이의 원주를 가지게 되는 논리적 모순이 일어나게 된다. 

혹은 어떤 것을 0으로 나눌 때의 경우를 생각할 수 있다. 우리는 어떤 수를 0으로나누는 것이 금지되어 있다고 배운다. 그러나 왜 그럴까? 그 이유는 무한에 있다. 어떤 수, 예를 들어 5를 0.1로 나누면 50이 된다. 0.01로 나누면 500, 0.001은 5000...이렇게 나누는 수가 0에 가까워질수록  결과는 점점 더 커진다. 그렇다면 나누는 수가 0일 때 결과 값은 무한일 것이다. 그리고 이를 도식화하면, 5를 0.1로 나눌 때는 0.1센티미터짜리 선분 50개를 이어붙여 5센티의 선분을 만들었다고 말할 수 있다. 그렇다면 0의 경우, 이는 0센티짜리 선분 무한 개를 이어 5센티 선분을 만들 수 있다고 할 수 있다. 그렇다면 이를 모든 길이에 적용할 경우, 선분길이와 상관없이 아까 원주를 젤 때의 상황과 동일하게, 모든 선분은 0센티짜리 선분 무한 개로 이루어졌다고 할 수 있다. 그러나 거꾸로 0에 무한을 곱하면 어떤 길이도 나오지 않는, 역연산이 되지 않는 사태가 벌어진다. 

무한의 이해

이와 같은 오류는 극한에 도달할 수 있다고 가정한 '실무한의 죄'를 저질렀기 때문이라고 저자는 설명한다. 즉, 실무한 대신 가무한의 개념을 이용하여 선분을 원하는 만큼 점점 더 많이 쪼갤 수는 있다고 그 '가능성'(혹은 잠재성)을 가정하는 것으로  위와 같은 논리적 모순은 해결될 수 있다. 

제논은 무한을 이용한 여러 역설들을 제기한 것으로 유명하다. 그는 이 역설들을 파르메니데스와 같이 감각을 무시하고 이성을 중시하는 사상을 뒷바침하는데 사용했지만, 우리는 여기서 무한의 다양한 측면들을 발견할 수 있다. 

양분의 역설의 경우, 이는 주어진 거리를 이동하기 위해서는 우리가 어떤 거리를 이동하기 위해서는 그 절반의 거리를 먼저 지나야 하고 그 절반의 거리를 를 가기 위해서는 그 절반의 절반을...고 같은 식으로 이동이 불가능하다고 말한다. 즉 우리는 이동을 위해 무한히 많은 지점들을 지나야함으로 움직임은 불가능하다.

또다른 종류로는 아킬레스와 거북이의 역설이 있는데, 거북이가 더 앞에서 출발하여 경주를 벌일 때, 아킬레스가 거북이가 이동한 지점에 도착했을 때 거북이는 그 시간동안 조금 더 앞으로 나가기에 아킬레스가 경주에서 이길 수 없다고 주장하는 역설이다. 

우리는 이를 미적분학으로 해결할 수 있는데, 아킬레스가 거북이보다 10배정도 빠르고 거북이가 10미터 앞에서 출발한다고 가정했을 때, 거북이가 초속 1미터로 이동할 때 아킬레스는 초속 10미터로 움직인다. 그렇다면 거북이가 출발한 지점까지 가는데 아킬레스는 1초가 걸리고 그동안 거북이는 1미터를 이동하고, 그만큼을 아킬레스는 0.1초가 걸리고 거북이는 그동안 0.1미터를 이동하고...따라서 아킬레스가 거북이를 따라잡는데 걸리는 총 시간을 1.111...초로 계산하여 분수로 10/9초로 고치면(아까 0.333..을 1/3으로 고쳤듯) 아킬레스가 거북이를 따라잡는데 걸리는 시간을 알 수 있다. 

질문: 굳이 미적분학의 방법을 쓰지 않아도 제논의 역설을 반박할 수 있지 않을까? 다시말해, 제논은 시간과 공간을 무한이 쪼갤 수 있다고 가정하였지만, 그에 반해 각 쪼개진 시공간에 동일한 시간을 부여함으로서 '무한히' 걸린다라는, 논리적 모순에서부터 역설적 결론을 이끌어냈다고 할 수 있지 않을까? 

‘만약 시간과 공간이 연속적이지 않다면’ 이라는 타이틀 너무 충격적이었음
연속, 불연속이란 무엇인가?

0.00000000001 이런거 하면 되지 1.616255(18)*10-35 라니

파이값을 5000자리씩 구해내는데 겨우 60자리의 수라는 것은 놀랍다.

점 S로 옮겨간 포물선의 모든 무게가 그 자리에 남은 큰 삼각형의 무게와 균형을 이룬다..(104p) 이 말뜻은 위 그림을 뜻하는 것 아닐까요? 

큰 삼각형내의 직선(긴 리브)들과 점S로 옮겨간 짧은 리브와의 비는 큰 삼각형의 넓이와 S로 옮겨간 활꼴의 넓이의 비와 같다. 큰 삼각형은 받침점에서 3배 더 가까우므로 균형을 이루려면 지렛대 원리로 활꼴의 무게(넓이)는 큰 삼각형의 1/3이어야.. 105p까지 이들의 비에 관한 내용은 위 그림을 참조하면 되겠습니다.