둘째날에는 저항과 관련하여 "형상, 길이 그리고 두께가 상사하거나 또는 상사하지 않거나, 같은 물질로 만들어진 각기둥{prism} 또는 원기둥{cylinder}들에서 파괴가 일어날 때의 비례들을 구할것이다" 라고 살비아티는 이야기 합니다. 여기서 저항은 물질의 강도, 버티는 힘 등으로 생각해도 좋습니다. 

 

구어체로 바꾸어보자면 '기둥 사이즈가 얼마나 커지면 부러지는거야?' 라는 정도의 표현으로 이해하면 좋을것 같습니다. 

 

그 비례들을 구하기 위해 갈릴레이가 제시하는 15명제의 큰 산을 다 오를즈음, 갈릴레이의 이러한 고민들은 어디에서 기인한 것인지 궁금해 집니다. 도대체 왜 그걸 알고 싶은건데요~~!?ㅠㅠ 

 

결론부터 이야기하면 일명 가.성.비. 입니다.  

 

"이것으로부터 강도의 어떠한 감소 없이, 무게를 33% 이상 줄인 들보들이 만들어 질 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 대형 선박들에서는, 특히 갑판들을 지지하는데, 경감성이 그러한 구조물들에서는 엄청나게 중요하므로, 이것은 매우 유용할 지도 모르겠습니다." [TNS 164쪽]  

 

기억하시나요? 그가 27세이던 1591년 베네치아공화국의 국영 조선소에서는 그에게 3가지 문제에 대한 기술 자문을 요청합니다. 그 첫번째 질문이 '목재로 된 배를 얼마나 길게 만들수 있을까?' 입니다. 당시의 베네치아는 베네치아 공화국을 말하며 베네치아 국영 조선소의 규모는 16,000명의 기술자가 조립 및 일괄 생산 공정을 가지고 부품의 표준화가 도입되어 있던 세계 최대 규모의 산업단지였습니다. 베테치아 국토면적의 15%를 사용하고 있던 엄청난 규모였죠. 아직 산업혁명이 시작도 되기 전이었다는걸 생각하면 더욱 놀랍습니다. 그들은 이미 효율적인 생산라인을 가지고 유럽 평균 한달이나 걸리던 배 한척을 하루에 준공할 정도였다고 합니다.  

 

바로 다음해인 1592년 임진년 한반도의 조선소 규모는 어땠는지 더욱 호기심을 자극하는 부분이기도 해요. 왜냐하면 400년이 지난 지금, 세계 10대 조선소의 1,2,3,4,6위 (2022년 기준)는 모두 이순신 장군의 후예인 대한민국에 있다는 라고나. 배부심? 이라고 할까요? ^^ 

 

다시 책으로 돌아가서, TNS의 명제들은 크기를 키우면서 안전하게 무게를 줄일수 있는 방법이 뭘까? 에 초점을 맞추어 읽어보면 좋겠습니다. 

 

저항의 문제는 아리스토텔레스에 의해 이미 '역학[문제들]' 에서 증명 되었다고 심플리치오는 이야기 하지만, 살비아티는 "마땅히" 아르키메데스를 그의 훨씬 앞에 놓아야 한다고 주장합니다. 

 

"지레를 사용함에 있어, 힘의 저항에 대한 비는 받침점{fulcrum}으로 부터 힘과 저항까지의 거리들의 역 비와 같다." 를 잘 기억해두고 책을 읽어 나갑시다. 

모멘트 {moment}: 지레의 팔을 통해 작용하는 무게의 실제의 아래를 향하는 경향, 힘 등.  

 

둘째날은 하나의 그림으로 이야기를 시작합니다. 갈릴레이의 증명은 계속해서 "비"에 관한 것이라는것을 명심해 두어야 합니다. 

 

그는 전체 A 무게의 크기{moment}와 G에서의 힘{moment}의 비가 거리 GN과 NC의 비로부터, 그리고 [거리의 비]인 FB와 BO의 비{로부터}의 합성{compounded} 비와 같다고 [선분 x]를 사용하여 증명합니다.   

 

NC : X = FB : BO

 

무게 A = 힘 B : 힘 C = 거리 FB : 거리 OB

 

힘C : 힘 G = 거리 GN : 거리 NC = (FB : BO) = (NC : X) 

 

무게 A : 힘 G = GN : X  

 

갈릴레이의 설명을 잘 따라가지 않으면 중간에 길을 잃고, 나의 본성을 잃고, 울화통을 얻게 되지만,   결론은, 무게 A : 힘 G = GN : X 로 

 

무게와 거리의 합성비를 이용하여, 힘을 거리로 그 크기를 가늠해 보자면, A 라는 큰 덩어리의 길이를 GN 만큼이라고 한다면, 그걸 들어올리기위해 필요한 힘G는 겨우 X 만큼이야~!  라는 놀라운 결론에 이르게 됩니다. 정말 아르키메데스의 말처럼 지구도 들어올릴수 있을것만 같습니다. ^^ 

 

명제들을 따라가다보면 곧 정신이 또 안드로메다로 가는데,,,, 명심해야할 한마디가 있습니다. " 이해는 암기에서 온다."  이해가 안되면 일단 암기를 하는걸로 하겠습니다. 

 

명제 1. 가로방향보다 길이방향으로 무거운 중량물을 더 잘 견딘다. 

 

명제 2. 길이방향의 폭이 더 넓을수록 더 무거운 중량물을 견딘다. 

 

(길이폭이 더 넓은 T를 지탱하는 판자가 저항이 더 큽니다.) 

 

명제 3. 같은 두께의 각기둥의 경우, 길이가 늘어나는 것의 제곱에 비례하여 모멘트가 증가한다. 

 

명제 4. 같은 길이를 가진, 다른 두께의 경우 (두꺼워지면) 직경들의 삼제곱비로 저항이 증가한다. 

 

부속명제. 같은 길이의 각기둥들과 원기둥들의 저항들은 (그리하여) 이들 기둥들의 [체적들의 비의] 1.5승 과 같이 변한다. 

 

명제 5는 이제 1~4의 명제를 종합하여 길이와 두께가 모두 다른경우의 증명입니다. 

길이와 두께가 다른 각기둥들과 원기둥들의 파괴에 반한 저항들은 그들 밑면들의 직경들의 삼승의 비와 그들 길이들의 역 비로부터 합성에 의해 주어진다. 

 

저항의 변화에 대해 증명을 하다가 드디어 임계 [ultimate] 라는 용어가 등장하게 됩니다. 배의 크기를 키울거지만 어디까지 키워도 안전한 걸까? 이런 질문으로 명제 8이 이어집니다. 

 

명제 8. 그 자신의 무게에 의하여 파괴되지 않는 최대 길이의 원기둥 또는 각기둥이 주어졌을 경우, 또한 더 큰 길이의 기둥이 역시 주어졌을 경우, 그 자신의 무게에 저항하는 유일하고 최대인, 이 주어진 길이의, 그런 원기둥 또는 각기둥의 두께를 구하라. 

 

구하라고는 하지만 비례로만 증명할 뿐 진짜로 수학적으로 길이를 구해내지는 않습니다. 

 

 

 

명제 9에서는 길이와 두께가 함께 커질경우 (동물의 뼈를 예로들어, 이또한 그의 젊은 시절 의학과 해부학 지식이 쓰인 결과인듯 합니다) 그 두께는 9배가 되어야 합니다. (체적은 삼제곱 비 이기때문) 

 

대화도중 사그레도의 입을 빌려 갈릴레이는 기하학 공부의 이유에 대해 잔잔한 울림의 한마디를 전합니다. 

 

 

"마음을 예리하게 하고, 또 마음이 완벽하게 추론하며 고찰하게 하기 위해서는, 기하학의 힘이 모든 것 중에서 가장 강력한 도구임을 고백해야 되지 않을까요? 플라톤이 그의 학생들이 먼저 수학의 기초에 철저하도록 원했던 데는 상당한 이유가 없었을까요? ….

 

정말 저는, 논리학이 우리의 논증을 지배하는 매우 훌륭한 도구이기는 하지만, 발견 [invenzione]을 위한 마음을 일깨우는데 있어서는 기하학의 예리함에 비교도지 않는다는 것을, 이해하기 시작합니다."  (TNS 158쪽) 

 

 

인생은 선택의 연속이고, 나의 마음이 예리해지는것은 좋은선택을 할 수 있는 가능성을 높여주기에 공부는 중요하다라고 나름의 공부의 쓸모를 정리해 봅니다.  

 

 

 

이제 남은 명제들은 빗면 포물선과 무게를 33% 줄인 들보에 관한 이야기 입니다. 

 

우선 흥미로운 점은 어떻게 포물선을 그리느냐 인데요. 호두보다 크지 않은, 완벽하게 둥그런 구리공을 약간 따뜻하고 습기 차게 하여 금속 거울 위에서 굴리면 공이 매우 얇고 부드럽게 그려진 포물 선분을 남긴다고 합니다. brilliant! 

 

또하나의 방법은 두 개의 못에 사슬을 매다는 방식으로 지금의 현수교를 의미합니다. 

 

 

 

 

여기서 잠깐! 현수교 이야기를 한참 하던 신자진은 그렇다면 현수교로 만들었다면 정자교는 무너지지 않았을까? 라는 훌륭한 질문으로 이어졌다는 소문이…..

 

 

 

 

위의 포물선이 각기둥 위에 그려진 것이라고 상상합시다. 갈릴레이는 저 잘려진 포물선은 전체의 ⅓ 이라고 주장 & 증명합니다. 

 

이 부분이 바로 우리에게 이해가 아닌 암기가 필요한 부분입니다. 옮긴이는 이 부분을 적분을 사용하면 결과를 구하기 매우 쉬운 일이지만, 아직 적분이 알려지지 않은 시점에서 기하학적으로 수행된 부분이라고 이야기 합니다. 너무나 꼼꼼하시고 집요한 성격임이 드러나는 부분인것 같습니다. 

 

마지막 명제는 같은 무게와 길이의, 하나는 속이 비었고, 다른 하나는 속이 찼을 때, 둘의 면적이 같을경우 그들의 절대 저항은 같다로 마무리 됩니다. 

 

마지막으로 우리 申子辰을 위로할 글을 하나 공유합니다.

 

" 이해는 미신이다. 외워야 한다. 아는 만큼 생각한다.

머리에 들어 있는 게 있어야 생각도 할 수 있다.

창의라는 로켓은 암기라는 스프링의 힘으로 발사된다.

암기를 잘하면서 창의성이 없는 사람은 있어도

암기를 못하면서 창의력을 발휘하는 사람은 없다.

단어를 모르면서 유창한 영어를 구사할 수 없는 법이고,

구구단을 모른 채로 미분과 적분을 할 수는 없다는 말이다."

(이정모, 서울시립과학관장)