나, 지금 ‘말라비틀어진 채’로 서두를 쓰고 있다. 도대체 이 ‘기묘한’ 양자역학, 파동과 입자의 이중성은 고사하고 지금당장 내 상태를 슈뢰딩거의 고양이 마냥 죽음과 삶 사이에 놓아버렸다. 앎과 모름의 상태가 파동처럼 중첩하는 느낌이랄까? 양자역학적으로 이야기하자면, 아마도 이 상태는 가능할지도 모르겠다. 어쩐지 첫 시간에 후기 담당이 아니었을 때 기뻐해서는 안된다는 느낌이 들었건만...(강사님: ‘아마 ‘기승전결’에서 이번 강의가 ‘승’정도 일겁니다’ 나: ‘어?’)

프랑스 귀족 드 브로이는 빛이 파동과 입자의 성질을 동시에 갖는다는 말을 듣고 원래 파동인 것이 입자면, 반대로 입자인 것이 파동으로 밝혀지는 것도 가능한지에 대해 물음을 던지고 논문을 써서 노벨상을 받는다. 그 결과가 물질파 이론인데, 이러한 물질의 파동(물질파)은 여느 파동과 마찬가지로 진폭과 진동수를 관측할 수 있다면 발견할 수 있다. 여기서 파동의 진폭은 입자의 개수로, 파장(진동수)은 에너지 덩어리로 읽힐 수도 있다. 어쨌거나 물질이 파동의 성질임을 확인 하려면 진폭 혹은 파장을 확인하면 된다.

이 때 λ=h/p라는 식이 등장하는데, 여기서 λ(람다)는 파장을 의미, h는 플랑크 상수(constant), p는 운동량을 의미한다. 여기서 h는 변하지 않는 상수이기 때문에 파장을 결정하는 것은 p(운동량)이다. 따라서 식에서 보이듯 운동량은 파장에 반비례하는 관계를 가지고, p=mv(운동량=질량*속도)이다.

파장을 관측가능하게 만들기 위해서는(진폭이 너무 짧으면 잘 안보이니까) 가능한 운동량을 줄여야한다. 그런데 속도(v)*질량(m)인 운동량(p)에서 속도(v)는 너무 느리면 관측이 불가능하기에 결국 낮출 건 질량(m)밖에 없다. 결국, 당시 물질 중 가장 질량이 작았다고 생각되었던 전자를 물질파 측정 실험에 쓰게 된다. 그리고 확인 결과 전자가 파동을 가짐이 관측되면서, 드 브로이의 이론은 인정받았다.

이 실험에선 약100년 전 토마스 영이 빛의 파동성을 증명했던 이중슬릿을 사용했다. 여기서 파동의 중첩현상을 이해해야 하는데, 이는 두 파동의 골과 마루가 만날 때는 서로 상쇄하고(간섭현상), 골과 골, 마루와 마루 부분 끼리 만날 때는 서로 만나서 파동이 더 커지는 현상이다(두 파동이 만나면 진폭이 커질 때도 있고 줄어들 때도 있다.). 따라서 이중슬릿에서의 전자가 파동성을 가진다면 빛처럼 스크린에서 파동의 간섭무늬(어두울 때도 있고 밝을 때도 있는 줄무늬 현상)가 나와야 하며, 실제로 예상과 같은 결과가 나왔다.

이전까지는 빛만 입자와 파동의 성질을 가졌는데, 이제는 물질도 이 두 성질을 가지고 있다는 것이 증명되었다. 이렇게 되고 나니, 물질이 파동의 성질을 가진다는 것의 의미의 해석에 대한 문제가 생겼다. 도대체 이것은 무슨 뜻인가?

파동방정식(y(x,t)=Asin(kx-wt+Φ)), 즉 시간이 어느 정도 흐른 후에 매질의 위치를 계산할 수 있는 이 방정식을 미분하면 속도가 나오고, 그 속도(v)를 (전자의)질량(m)과 곱하면 p=mv, 즉 운동량이 나오는데, 이를 통해서 전자의 운동량을 구할 수 있다. 그리고 전자의 운동량(p)을 알면 파동의 파장(λ)을 알 수 있고(λ=h/p), 그렇다면 진동수도 알 수 있다. 다시말해 파동방정식을 알면 그것을 미분하여 전자의 진동수를 알아낼 수 있다(그 역도 적분으로 성립). 속도(v)를 미분하면 가속도(a)가 나오는데, 가속도를 통해서 우리는 물질에 작용하는 힘의 크기(계의 밖에서 작용하는, 외력f)를 알 수 있다(a=f/m). 또, 속도를 알면 운동에너지를 알 수 있다(E=1/2mv2)(질량과 속도의 제곱을 알면 물체가 가지는 운동에너지를 알 수 있다.).

빨리 움직이는 전자에서는 나머지 에너지들(질량→중력에너지, 전하→전기에너지)이 작은 반면 운동에너지가 굉장히 크기 때문에 움직이는 전자의 속도를 알아서 운동에너지도 알게 되면 전자가 가지는(대부분의) 에너지를 알 수 있게 된다. 그것을 알면 파동성을 가진 전자가 전달하는 에너지량을 알 수 있다.

이러한 관계를 가지고 여기서 슈뢰딩거가 파동방정식을 미분해서 만든 식이 나온다. 파동방정식은 위치와 시간에 의한 함수인데, 이 식에서도 이 둘이 나온다. 더불어 물질에 의한 파동을 다루기에, 물질파의 식을 변형하여 도출한 것이 슈뢰딩거의 방정식(물질파와 빛(광전효과)등을 전부 파동이라고 생각한다면 도출되는 식이 이것이다, 라는 ‘선언’)이다. 당시 하이젠베르크도 행렬을 가지고 슈뢰딩거와 같은 형태의 행렬방정식을 만들었지만, 이는 슈뢰딩거의 방정식에 비해 훨씬 어려웠기 때문에 슈뢰딩거 방정식이 더 널리 쓰였다.

전자에 대해 파동방정식을 쓴다면 이는 일정한 시간이 지난 후 전자의 위치를 알려준다. 그리고 미분을 한다면 그 지점에서의 매질의 속도를, 그리고 한 번 더 미분한다면 해당지점의 가속도를 알려준다. 그러나 고전적으로 생각해본다면 슈뢰딩거의 방정식을 썼을 때 전자가 특정한 위치가 아닌 파동의 형태로 여기저기에서 있는 형태로 나타나기에 식의 결과는 맞아떨어지지만 또다시 이를 어떻게 해석할 것인가를 두고 문제가 발생한다.

(...)

하이젠베르크의 불확정성 원리는 ΔxΔp≥ℏ(플랑크 상수를 빛의 속도로 나눈 수, 즉 h/c)/2로 나타나는데, 여기서 ℏ/2는 굉장히 작은, 그러나 양수인(0보다 큰) 값을 가진다. 따라서 그 반대 쪽 항도 적어도 0이상이여야 한다. 그렇다면 ΔxΔp는 무엇인가.

이것들은 표준편차를 나타낸다. 이때 표준편차에 대한 예를 들면 대통령 선거 지지율이 33.3%라고 하자(뉴스에서 이렇게 소개해준 뒤 이것이 맞을 확률이 99.5%정도라고 한다고 하자). 여기서 조사는 우리나라 전 국민 하나하나를 대상으로 한 것이 아니라 일부만을 상대로 한 것이다. 그렇다면 전 국민을 대상으로 했을 경우 지지율이 다르게 나올 수 있다.여기서 ‘99.5%’라고 하는 것은 33.3%에서 일정 범위를 잡는다면 그 안에 전 국민의 지지율이 들어갈 확률이 99.5%라고 하는 것이다. 이때 이 범위가 +/- 0.5라면 이것은 32.7~33.8% 사이에 (전 국민 대상 조사 결과)지지율이 있을 확률이 ‘99.5%’라는 의미다. 즉, 특정 대상에 대해 조사를 행할 수 없을 때에 다른 방법으로 조사한 결과가 실제와 얼마나 합쳐질 것인가에 관한 것이다.

여기서 표준편차의 범위는 조사대상의 수가 많으면 많을수록 좁아진다. 이것을 불확정성 원리에 적용해보자면 가령 전자의 위치를 알기 위해서 관측을 하여 대강 어디 즈음이라고 한다고 하자. 그러나 반드시 그 자리에 위치하리란 보장은 없기에(눈으로는 보이지 않으니까) 그 위치에 있을 확률을 표준편차로 계산한다. 그렇다면 거기에 있을 범위를 Δx라고 하는 것이다. 다시말해, Δx는 어느 정도 범위 안에 있는 것을 알겠으나 어디 있을지는 단정할 수는 없는 ‘위치’이다.

Δp는 p(운동량)가 mv, 즉 질량*속도의 값인데, 우리가 해당대상, 그러니까 전자의 질량을 이미 앎므로 ‘속도’의 (확정할 수는 없는)범위를 말하는 표준편차이다.

그런데 이 둘을 곱한 값이 적어도 0보다는 크기에 이 둘 중 하나도 0이 되면 안 된다. 그렇다면 이 둘 중 하나라도 0의 값을 갖는다는 것은 무얼 의미하는가. 그것은 Δx 혹은 Δp의 값의 범위(여기서부터 저기까지)가 0으로 좁혀진다는 것, 즉 이 둘 중의 값을 특정할 수 있다는 의미이다. 그러나 이미 식에서 이 두 값의 곱은 0보다 크기에 이 둘 중의 하나라도 0(=값을 특정)이 될 수 없고, 이는 식이 틀리지 않는 이상 원리적으로 이 두 값의 확정이 불가능함, 다시말해 불확정성의 원리를 이야기한다. 그러니까, 이 원리는 기술의 발달과는 무관하게 물질의 본질에서부터 이 값의 확정이 불가능함을 말하는 것이다.

그렇다면 우리 자신의 위치는 어떻게 알 수 있는가? 그 이유는 ℏ/2에서 ℏ의 값이 너무나 작기 때문에 그 범위의 크기가 매우 작아서 사실상 구분의 의미가 없기 때문이다. 그러나 그 대상이 전자 크기의 정도로 가면 그 범위의 크기가 문제가 된다.

ΔxΔp≥ℏ/2에서 왼쪽이 가장 작은 값을 가질 때는 ΔxΔp=ℏ/2일 때이다.

상자 안에 전자가 담겨있다고 하자. 그렇다면 전자가 어딘가에 존재할 위치의 범위인 Δx가 상자 안으로 규정될 수 있다. 위치의 범위인 Δx가 정해졌을 때에 운동량의 범위인 Δp도 정해진다. 이 Δp에서 p는 질량과 속도의 곱이고, 여기서 질량은 이미 정해져 있으니, 규정되는 것은 속도의 범위라고 말할 수 있다. 그렇다면 그 상자를 구겨서 위치의 범위를 줄인다고해보자. 그럴 때 속도의 범위는 되려 늘어난다. 따라서 위치를 정확히 알려고 하면 속도를 알 수 없게 된다.

그러나 속도에는 한계, 즉 범위가 정해져 있다. 속도는 빛의 속력보다 더 빨라질 수 없다(0~300,000/s). 따라서 속도가 빛의 속도일 때, 그것은 우리가 알 수 있는 가장 작은 위치의 범위를 보여준다(속도가 늘어날 때 위치는 줄어들기에). 그것이 플랑크 공간이라고 부르는 것인 범위의 한계이다. 반대로 속력의 범위는 위치의 확장을 통해 더 줄어들 수 있다. 그렇다면 위치의 최대값은 어디일까. 바로 우주의 크기만큼이다. 따라서 속도의 범위도 그 한계가 규정지어진다. 이것은 기술적 결함으로부터 발생하는 불확정성이 아니다. 원리적으로 가지고 있는 알 수 있는 범위의 한계인 것이다.

에너지도, 물질도, 입자이기도, 파동이기도 하다. 그러나 이 둘은 동시에 나타나지 못한다. 다만 우리가 어떤 것을 관측하느냐에 따라 나타날 뿐이다. 이것을 보어가 상보성이라고 주장한다. 관측하기 전에는 입자/파동성을 둘 다 가지고 있다가 이 둘 중 하나의 성질만 내놓는 것이다. 이는 둘 중 하나만을 알 수 있다는 점에서 불확정성 원리와도 연결되는 지점을 가진다.

슈뢰딩거의 방정식에 대해서 어떻게 해석해야할까. 그의 방정식에 따르면 전자의 전하가 퍼져있는 것이라고 말했는데, 이를 어떻게 바라보아야 할지에 대해 논란이 일었다. 이 때 막스 보른이 존재 확률함수를 주장하는데, 기본적으로는 이것을 상자 속 전자로 예를 들면 상자 안 부피만큼의 범위 내에서 전자가 존재할 확률이 100%, 특정 점에서는 100/부피(v)로 나타내는 것이다. 그는 슈뢰딩거의 방정식으로 수소 원자의 전자의 물질파를 계산했는데, 그 결과 존재 확률이 원자핵을 중심으로 한 구형모양으로 나왔다.

이것이 존재확률함수이다. 그러나 그것은 그 구형모양 내에서 전자가 어딘가에 존재할 확률이 있는 형태가 아니다. 그것은 전자가 파동처럼 퍼져서 (확률로)존재하면서 관측되기 전까지 그렇게 있는 것이다. 다시말해, 전자는 파동으로 퍼져서 존재한다. 그리고 동시에 확률이 퍼져 있는 것이다. 미심쩍지만, 이 가정 위에 세워진 식에서 계산이 제대로 된다. 이러한 현상은 관측이 되기도 하는데, 말하자면 전자를 담은 상자의 부피가 전자의 존재확률의 범위보다 작으면 전자는 상자가 얼마나 꽉 닫혀 있는지에 상관없이 상자 밖에서도 관측될 수 있다.

(...)

기존 고전양자역학(슈뢰딩거 방정식)에서는 질량을 변화하지 않는 값으로 보고 속도만 고려했었으나 아인슈타인의 특수상대성이론을 고려하면 물질의 속도가 빨라지면 질량이 증가한다. 따라서 빠르게 움직이는 전자를 고려할 때도 속도의 변화에 따른 질량의 변화도 계산해야한다. 이러한 계산과정을 거친 새로운 식이 디렉의 방정식이다.

(...)

이쯤오니 오비탈까지 얘기하기에는 조금 벅차다는 느낌이 든다. 기존의 물리학이 세계를 거의 다 파악했다고 생각했지만, 양자역학이 등장하면서부터 그동안의 지식체계가 다시 다 바뀌어버리는 현상이 나타났다. 하지만 아직까지 대부분의 사람들이 생각하고 있는 직관적인 형태는 고전물리학을 따라가는 듯하다. 아니, 도대체 어떻게 물질이 파동의 성질을 가질 수 있고 빛이 이중성을 가지며, 전자가 파동의 형태도 존재하고 있다가 관측되는 순간 입자처럼 존재한다는 말인가. 그리고 그런 의미에서 양자역학을 공부해야 하는 게 아닌가 싶다. 양자역학이라는 학문이 나온지는 꽤 되었지만, 아직도 나에게 생소한 느낌이고, 다른 많은 사람들도 그럴 것처럼, 이러한 영역을 배우면서 알아가는 과정이 나에게는 정말 (비직관적이고)이상한 느낌으로 다가온다. 오죽하면 과학자 파인만이 양자역학을 완벽하게 이해하는 것이 불가능하다고 했겠는가. 그래도 정리를 하면서 머릿속에서도 정리가 된 것 같다(이 후기를 읽는 다른 사람들도 이해가 되야되는데..). 이제 기승전결에서 제일 높은 ‘승’의 과정을 한 고비 넘긴 것 같다. 그런데, 아직 현대양자역학이 남았다. 다음시간은 어떻게 될지, 한편으로는 기대가 되기도 하고, 다른 한편으로는 뭔가 더 어려워질 듯한 느낌이 든다. 그래도 괜찮을 거라고 작은 희망을 품어본다.

여울아샘 후기 늦게 올려서 미안해요~!